《空间几何体的直观图》（人教版）

高中数学人教版(必修二)畅言教育《空间几何体的直观图》◆教材分析“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法。用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础。因此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤。在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置。因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法。值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形。◆教学目标【知识与能力目标】用心用情服务教育 高中数学人教版(必修二)畅言教育（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点。【过程与方法目标】学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。【情感态度价值观目标】（1）提高空间想象力与直观感受。（2）体会对比在学习中的作用。（3）感受几何作图在生产活动中的应用。◆教学重难点◆【教学重点】用斜二测画法画空间几何体的直观图。【教学难点】直观图和三视图的互化。◆课前准备◆多媒体课件◆教学过程（一）导入新课出示幻灯片3(浙江省台州的斑马线披上的“立体彩装”)问题：左图的斑马线为什么会有立体的感觉？如何把立体图形画在纸上？由此引入“直观图”的概念教师指出：用心用情服务教育 高中数学人教版(必修二)畅言教育很多图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征。三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图。一般采用中心投影或平行投影。中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量。立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法。（出示幻灯片5，介绍投影规律）（二）课堂探究1、水平放置的平面图形的画法思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图。比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考3:画一个水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这个问题。那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？活动：学生观察幻灯片上的图片，思考，交流讨论回答思考1、2中的问题，并结合前两副图获得的直观认知，尝试解决思考3中的问题，教师给予评价。在此基础之上再进一步学习水平放置的正六边形的直观图画法。例１、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。活动：教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师及时给予点评。讨论结果：①画法：1°如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°。2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=MN。以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF。3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕。用心用情服务教育 高中数学人教版(必修二)畅言教育图1②步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面。2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。思考4:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？2、空间几何体的直观图的画法思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？（由此引入空间直角坐标系，教师强调三个坐标轴的位置关系。）例2、用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图。活动：让学生发表自己的见解，教师及时给予点评。讨论结果：③画法：1°画轴。如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°。图2用心用情服务教育 高中数学人教版(必修二)畅言教育2°画底面。以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=cm。分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD。3°画侧棱。过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′。4°成图。顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感。思考2:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？讨论结果：画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系。画几何体的直观图的步骤是：画轴画底面画侧棱成图，具体步骤如下1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°。2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面。3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同。4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图。斜二测画法的作图技巧:用心用情服务教育 高中数学人教版(必修二)畅言教育1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等。2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线。原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出。3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图。例3已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。图4活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征。教师分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。解：画法：（1）画轴。如图5（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°。(1)(2)图5用心用情服务教育 高中数学人教版(必修二)畅言教育（2）画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O。在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O一样）。（3）画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度。（4）成图。连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕。点评：空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图。同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图。（三）课堂训练1、已知一个四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真是图形，并计算真是图形的面积。2、一个四边形的直观图是边长为a的正方形，则原图形的面积是。3、（2012·济南高一检测）利用斜二测画法得到的（1）三角形的直观图是三角形。（2）平行四边形的直观图是平行四边形。（3）正方形的直观图是正方形。（4）菱形的直观图是菱形。以上结论，正确的是()A、(1)(2)B、(1)C、(3)(4)D、(1)(2)(3)(4)4、如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积。用心用情服务教育 高中数学人教版(必修二)畅言教育（七）作业习题1、2A组第5、6题。◆教学反思略。用心用情服务教育