新人教A版必修2 高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图 教案

个性化教案适用学科数学适用年级高一适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点直观图教学目标通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法.教学重点用斜二测画法画空间几何体的直观图教学难点直观图和三视图的互化教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。考点/易错点2画空间几何体的直观图的步骤(1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°.(2)画出与Ox，Oy，Oz对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．(3)几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．(4)几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y10/10 个性化教案轴的线段，长度为原来的一半(5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．考点/易错点3三视图与直观图的异同两种视图相同点与联系不同点三视图都是空间几何体的表现形式，已知一种形式可转化为另一种形式．三视图需有一定的空间想象能力才能看懂，供较专业的人们使用.从三个不同位置观察得出的是三视图，它能体现各部分的准确比例．直观图从一个位置观察而得出的是直观图，它能直观地体现几何体的形状，但某些方向上的尺寸失真.三、例题精析【例题1】【题干】画正五边形的直观图【解析】(1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；(2)在图(1)中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF，过F′作C′D′∥x′轴使C′D′＝CD且F′为C′D′的中点．(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′，B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图．【例题2】10/10 个性化教案【题干】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．【解析】画法：(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x′轴和y′轴、z′轴，三轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图2所示)．②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画六棱锥P－ABCDEF的顶点，在O′z′轴上截取O′P′＝OP.(3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴，y′轴，z′轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3)．【例题3】【题干】由几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．10/10 个性化教案【解析】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．(3)画圆锥的顶点．在Oz上取一点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.【例题4】【题干】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(  )A.＋B．1＋C．1＋D．2＋【答案】D【解析】如图所示，∵A′D′∥B′C′，∴AD∥BC.∵∠A′B′C′＝45°，∴∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.10/10 个性化教案∴四边形ABCD是直角梯形．其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋，AB＝2，∴S梯形ABCD＝2＋.四、课堂运用【基础】1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(  )①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．[A．0    B．1    C．2    D．3[答案] C[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．2．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为(  )A.a2B.a2C.a2D.a2[答案] C[解析] 如下图(1)为直观图，图(2)为实际图形．取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点，则在直角三角形A′O′M′中．∵O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，∴M′O′＝O′A′＝a，故A′M′＝a.在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧取到y轴距离为的点B、点C，在x轴上O点左侧取到y轴距离为a的点M，过M作x轴的垂线，在垂线上且在y轴正方向上取A点，使MA＝a，连结AB，AC，则△ABC为所求．10/10 个性化教案显然S△ABC＝a·a＝a2，∴应选C.3．如图，已知几何体的三视图，则该几何体是________和________的组合体．(  )A．圆柱和棱锥B．长方体和圆锥C．圆柱与圆锥D．圆锥和圆台[答案] C[解析] 由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．4．一幢楼由相同的若干房间组成，三视图如图，则该楼(  )A．长4间，宽1间，最高4层B．长4间，宽2间，最高4层C．长2间，宽4间，最高2层D．长4间，宽1间，最高2层[答案] B[解析] 由正视图与俯视图知，该楼长4间，由侧视图和俯视图知该楼分前后两间，由正视图和侧视图知，该楼最高4层．【巩固】1．△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(  )10/10 个性化教案A．ABB．ADC．BCD．AC[答案] D[解析] 由于直观图中，∠x′O′y′＝45°，∴∠A′B′C′＝45°，故∠ABC＝90°，∴AC最长．2．平行投影的投影线______，中心投影的投影线________．[答案] 互相平行，交于一点3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．[来源:Z.Com][答案] 四棱台【拔高】1．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．[解析] 2.用斜二测画法画一个底面边长为2cm，高为3cm10/10 个性化教案的正五棱锥的直观图(不写画法)．[解析] 课程小结利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．课后作业【基础】1．水平放置的矩形ABCD，长AB＝4，宽BC＝2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为(  )A．4B．2C．4D．2[答案] B[解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4，A′D′＝×2＝1，作D′E⊥A′B′垂足E.∴D′E＝1×sin45°＝，∴S四边形A′B′C′D′＝A′B′·D′E＝4×＝2.[来源:Z§xx§k.Com]2．如图，模块①—⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①—⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为(  )10/10 个性化教案A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑤D．模块③，④，⑤[答案] A3．一个几何体的三视图都是矩形，则该几何体可能为(  )A．圆柱B．棱柱C．棱台D．长方体[答案] D【巩固】1．某物体的直观图如图(1)，则其俯视图为(  )[答案] D2．一个几何体的三视图均为等腰直角三角形(如图)，则该几何体的直观图为(  )[答案] C[解析] A、B的正视图都应是图(1)，D的侧视图应为图(1)均不符合，故选C.310/10 个性化教案．如果一个梯形的平行投影仍是梯形，那么它的中位线的平行投影一定是这个梯形的平行投影的__________．[答案] 中位线【拔高】1．画出如图所示的物体的三视图．[解析] 几何体的三视图如图所示．2．如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．[解析] 由几何体的三视图可知，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个长方体，上部是一个四棱锥，其直观图如图所示．10/10