1.2.3 空间几何体的直观图学习目标 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．知识点 斜二测画法思考 边长2cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？答案 A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝AD.梳理 水平放置的平面图形的斜二测画法(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(×)3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(×)
类型一 平面图形的直观图例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)所示．(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)所示．引申探究例1中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图．解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
跟踪训练1 已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 画法：(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．类型二 直观图的还原与计算例2 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，所以面积为S＝×2＝5.反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．跟踪训练2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是( )A.B.C.D．2考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为∶4，所以原图形的面积为，故选C.(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是________．(填四边形的形状)考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 菱形解析 如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6(cm)，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．
类型三 空间几何体的直观图例3 如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．考点 空间几何体的直观图题点 简单组合体的直观图解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示．(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，使∠x′O′y′＝45°如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2.(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.
反思与感悟 空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．跟踪训练3 用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)考点 空间几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图解 画法：(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.(3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 B解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．2．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 C解析 在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为C.4．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 5
解析 该矩形直观图的面积为×5×4＝5.5．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图(1)所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.一、选择题1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°，90°B．45°，90°
C．135°，90°D．45°或135°，90°考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 D解析 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.2．水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 A解析 由图形，知在原△ABC中，AO⊥BC.∵A′O′＝，∴AO＝.∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC为等边三角形．故选A.3．下列说法中正确的个数是( )①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1B．2C．3D．4考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 A解析 如图，由正方形的直观图是平行四边形可知①②③错误，易知④正确，故选A.
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmC．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmD．4cm,0.5cm,1cm,0.8cm考点 空间几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图答案 B解析 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.6．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )A．16B．64C．16或64D．无法确定考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.
7．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 A解析 直观图中正方形的对角线长为，故在平面图形中平行四边形的高为2，只有A项满足条件，故A正确．8．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )A．2B．4C．2D．4考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 D解析 设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2S直观图，所以×OB×h＝2××2×O′B′.又OB＝O′B′，所以h＝4.二、填空题9．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 (4,2)解析 由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．10．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________cm2.
考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 矩形 8解析 由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．11．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则直观图中梯形的高为________．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 解析 作CD，BE⊥OA于点D，E，则OD＝EA＝＝2，∴CD＝OD＝2，∴在直观图中梯形的高为×2×＝.12．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 解析 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.三、解答题13．如图所示，在△ABC中，AC＝12cm，AC边上的高BD＝12cm，求其水平放置的直观图的面积．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算
解 方法一 画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A′C′＝AC＝12cm，B′D′＝BD＝6cm，故△A′B′C′的高为B′D′＝3cm，所以S△A′B′C′＝×12×3＝18(cm2)．即水平放置的直观图的面积为18cm2.方法二 △ABC的面积为AC·BD＝×12×12＝72(cm2)．由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC水平放置的直观图的面积是×72＝18(cm2)．四、探究与拓展14．如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算解 由已知，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为的平行四边形，故原图形的面积为2.15．由下列几何体的三视图画出直观图．
考点 空间几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图解 由几何体的三视图，知这个几何体是一个三棱柱．(1)画轴．如图，画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图．
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