学年高一数学：1.2.3空间几何体的直观图2(人教A版必修2)

1．2.3空间几何体的直观图 要点一水平放置的平面图形的直观图画水平放置的几何图形的直观图应注意的问题1．要根据图形的特点选取适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上或尽可能多的线段平行坐标轴，这样可以简化作图步骤； 2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连结成线段．3．为了使直观图更美观好看，成图后要将辅助线和坐标轴擦掉． 例1如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图． 【分析】利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过D点作出该点在x轴的垂足E，则对应地可以作出线段DE的直观图，进而作出整个梯形的直观图． 【解】画法：(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°. (3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图． 【规律方法】在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．本题中，关键在于点D′位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E′，再去确定D′的位置． 变式1用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图． 解：解法一：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴． 解法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴． 要点二画空间几何体的直观图用斜二测画法画空间几何体的直观图通常要建三条轴(空间坐标系)，有两轴(通常是水平轴与铅垂轴)上的线段长度不变，另一轴(通常与水平轴斜交的轴)上的线段长度改变，通常取原来的一半．其一般步骤为：(1)画轴；(2)画底面；(3)画侧棱；(4)成图．要注意的是，在已知图形中，建立坐标系时，要使尽量多的点落在x、y轴上，或者在与x、y轴平行的线段上． 例2如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 【分析】由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以长方体的上底面为底面的四棱锥拼接而成． 【解】(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图(1)所示； (2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图(2)所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图(2)； (3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图(3)． 【规律方法】(1)由三视图画几何体的直观图，首先要认清几何体的形状与大小，这是解决此类问题的关键一步，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图． (2)利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示． ②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴． 变式2由下列几何体的三视图画出直观图． 解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°如图①所示． (2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的侧棱长． (4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡部分为虚线．如图②所示. 要点三将直观图还原为平面图形由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，依然平行于x轴，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，依然平行于y轴，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 例3下图是一个四边形ABCD的水平放置的直观图，试把它还原成原四边形ABCD. 【规律方法】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 变式3如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积．