新人教A版必修2 高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图 导学案

1.2.3空间几何体的直观图一、教学目标1．知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。3．情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受。（2）体会对比在学习中的作用。（3）感受几何作图在生产活动中的应用。二、教学重点、难点重点、难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图。三、教学思路（一）根据教学目标，学生自学P16~P19，完成下列练习。1、斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，它利用了斜投影和正投影两种方法。2、请问下列图形所示是一种什么投影？（1）（2）思考：如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的两条线段(  )A．平行且相等     B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等解析：选A.由斜二测画法不改变原图形中线与线间的平行与相等关系可知选A.3、正投影得到的图形与原来的图形有何关系？4、斜二测画法步骤：⑴画轴，画出斜坐标系:在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45度(或135度),它们确定的平面表示水平平面.，即x'Oy'=45°，x'Oz'=90°。.⑵画对应图形:已知图形中的平行x轴的线段，在直观图中画成平行 于x'轴,；已知图形平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于y'轴；已知图形中的平行x轴的线段，在直观图中画成平行于z轴,平行于x轴的线段,在直观图中长度保持不变；平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来一半.；平行于x轴的线段,在直观图中长度保持不变。⑶成图.连接相应端点，去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线等.。斜二测画法口诀：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。5、如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图中的(  )解析：选C.由于图形的直观图中有一条边与y′轴平行，则在原图中，应有互相垂直的边，而其对边不应与其它边垂直，则可排除A、D，与y′轴平行的边在右侧，故选C.6、平行四边形的直观图________平行四边形．(用“是”或“不是”作答)解析：斜二测画法不改变图形中的平行关系．答案：是（二）经典例题讲解例1已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(  )A.a2B.a2C.a2D.a2解析：选D.如图(1)和图(2)所示的实际图形和直观图，由图(2)可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2，所以应选D.例2一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．解：如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴． 因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形．所以E′C′＝.再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.（三）课堂练习1、画水平放置的正三角形的直观图。2、如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D是△ABC中BC边的中点，那么AB、AD、AC三条线段中最短的是    .解析：由直观图易知AD∥y′轴，根据斜二测画法规则，则在原图形中就有AD⊥BC.又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，AD为BC边上的高，则有AB、AC相等且最长，AD最短．答案：AD（四）课堂归纳与小结学生自己完成：斜二测画法的特点是什么？（五）教学检测1．下列说法正确的个数是(  )①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形． A．0B．1C．2D．3解析：选C.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．故选C.2．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为(  )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：选C.用斜二测画法，原图的直角变成45°，直观图中的正△A′B′C′的角度是60°，60°＞45°，所以原图是钝角三角形．3．关于斜二测画法的如下说法中不正确的是(  )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的一半C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：选C.此题由于习惯画法，可能许多学生认为C中的结论是正确的，忽视∠x′O′y′也可以是135°.4.如图所示，正方形ABCD在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的此正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为(  )A.B.C．1D.解析：选B.点B′到x′轴的距离即A′到x′轴的距离，设其为d，而O′A′＝OA＝1，∠C′O′A′＝45°，∴d＝O′A′＝.故选B.5．如图，已知等腰三角形ABC，则如下图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(  )A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D.由斜二测画法的规则可知：①错，因为图形毫无变化．②错，因为只有长度发生了变化，但角未发生变化．③④正确，其中③的坐标系夹角为135°，④的坐标系夹角为45°.6.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(  )A．6cmB．8cmC．(2＋3)cmD．(2＋2)cm解析：选B.原图可还原为平行四边形．∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝3，∴周长为8.7.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且A′B′=A′C′，那么△ABC是    .解析：因为A′B′∥x轴，A′C′∥y′轴，所以AB∥x轴，AC∥y轴．所以在直角坐标系中，∠BAC=90°.又因为A′B′=A′C′，所以AC=2AB.所以△ABC为直角三角形．答案：直角三角形8.如图为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB、BO、BD、OD由小到大的顺序为    .解析：在原三角形中，AO＝5，BD＝4，BO＝5，OD＝3，AB＝＝，故OD＜BD＜AB＜BO.答案：OD＜BD＜AB＜BO9．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的________倍．解析：原三角形中一边的高在直观图中长度减半，又高与底边的夹角变成45°，则直观图中的三角形的高为原三角形中的高的倍．而三角形底边的长度不变，所以三角形的直观图的面积是原三角形面积的倍．答案：10.如图所示，等腰直角三角形A′B′O′是△ABO的直观图，它的斜边O′A′=a，求△ABO的面积．解：∵△O′B′A′为等腰直角三角形，其斜边O′A′＝a，∴O′B′＝a，如图(1)．将直观图还原后的平面图形如图(2)．即为直角三角形，其中∠AOB＝90°，直角边OA＝a，OB＝a，∴S△AOB＝a·a＝a2.11．（拓展题）在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积． 解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC.∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.