2019年高中数学人教A版必修2第一章空间几何体 1.2.3 空间几何体的直观图 学业分层测评（含解析）

2019年高中数学第一章空间几何体1.2.3空间几何体的直观图学业分层测评（含解析）新人教A版必修2一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于(  )A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】 在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.【答案】 C2．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是(  )A．0B．1C．2D．3【解析】 只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.【答案】 A3．如图1232为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(  )图1232A    B    C    D【解析】 根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．【答案】 C4．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1233所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是 (  )图1233A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】 根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.【答案】 C5．在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(  )【解析】 根据斜二测画法知在A，B，D中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等．【答案】 C二、填空题6．已知△ABC的直观图如图1234所示，则原△ABC的面积为__________.图1234【答案】 9 [由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝×6×3＝9.]7．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为__________． 【答案】 5 [由于该矩形的面积为S＝5×4＝20，所以由公式S′＝S，得其直观图的面积为S′＝S＝5.]三、解答题8．如图1235，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．图1235【解】 画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；①        ②(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.9．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图．【解】 (1)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． [能力提升]10．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图1236所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为(  )图1236A.B.C．5D.【解析】 由斜二测画法规则知△ABC是∠ACB为直角的三角形，其中AC＝3，BC＝8，AB＝，所以AB边上的中线长为.【答案】 A11．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图1237所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．图1237【解】 过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋，高为2，∴原平面图形的面积为××2＝2＋.