数学必修2人教A：122空间几何体的直观图

第二课时空间几何体的直观图（一）数学目标1.知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平而图形的直观图.（2）采川对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在屮心投影下面空间图形两种方法的各自特点.2.过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间儿何体的直观图.3.情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受.（2）体会对比在学习中的作用.（3）感受几何作图在生产活动中的应用.（-）教学重点、难点重点、难点：用斜二测而法画空间儿何值的直观图.（三）教学方法在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使啓生熟练掌握并归纳斜二测画法去画比棱柱的基本步骤.教学环节数学内容师生互动设计意图创设情境三视图用三个角度的正棱影图反映空间儿何体的形状和人小，我们能否将空间图形用一个平面图形來表示呢？学生讨论发现能，如教材图1.1—2如图1.1—10.师：这些平面图形既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们称这种图形为立体图形的直观图.设疑激趣点出主题探索新知1.水平放置的平面图形的直观图的画法.（1）例1用斜二测法画水平放置的正六边形的直观图.画法：（1）如图（1）,在正方边开ABCDEF中，取4»所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点0，,使Zxfoy=45°・（2）在图（2）中,以。为中点,在疋轴上取在轴上取Nf=丄MN.以点2为屮点，画夕C平行于疋轴并且等于BC；再以M，为中点，画EF平行于疋轴,并且等于EF.（3）连接/VB',CQ,DE,F",并擦左辅助线疋轴和卩轴，教师用多媒体课件边演示边讲解.学生观察、思考、归纳师：从以上演示我们可以发现画一个水平放置的平而多边形直观图的关键是什么？生：确定多边形顶点的位置.师：请大家尝试归纳平血多边形直观图的基本步骤.生：①选取恰当的坐标系.②画平行线段，截取长度③依次连结各顶点成图（老师板卩）师：有哪些注意事项生平行于x轴，y轴的线段在直观图屮分別画成平行于"轴、/轴.多媒体演示提高上课效率.师牛互动，突破亜1*1八、、• 便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'CDEFO(3))牛2：原图屮平行于X轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y轴的线段长度，为原来的一半.师在连虚实线的使用等方面予以补充.rc(3)多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.2)斜二测画法基木步骤.(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴和交于点0.画直观图时，把它们画对应的*轴与轴，两轴交于点0’，且使厶，O'yf=45°(或135°),它们确定的平表示水平面.(2)己知图形中平行于x轴或y轴的线段，在XL观图分别画成平行于+轴或轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图小保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.2.简单几何体的直观图画法例2用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体4BCD-A'BfCfD的直观图.画法：(1)画轴.如图，画兀轴、y轴、z轴，三轴交于点0,使厶Oy=45°,厶0z=90°.师：下面我们体会一下，用斜二测画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD、AfB1C'Dr的直观图的画法.教师边演示边讲解，学生边观察，边思考，边总结.师：请大家归纳一下,直棱柱的TT•观图画法.生：①画轴②画底画③画侧棱④成图师：有什么注意事项吗？生“竖直方而保持平行关系和长度关系不变.生2：被遮的部分用虚线. （2）画底面.以点。为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4cm；在y轴上取线段PQ,使PQ=-cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和0作兀轴的平行线，设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底Ikl"ABCD.（3）画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AfAfBBCC,DD（4）成图，顺次连接A,B,C,D,并加以整理（去掉辅助线,将被挡的部分改为虚线），就得K方体的直观图.学生讨论然后简答.生I：这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆柱上底而与圆锥底而相重合.生2：我们可以先画出上部的圆锥.师给予肯定然后点拔注意事项.前后联系加强知识的系统性.2.简单纟II合体画法例3已知几何体的三视图说出它的结构特征，并川斜二测画法画它的直观图.画法：（1）画轴.如图（1）,（2）画圆的柱的下底而.在兀轴上取A,B两点,使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且0A=0B.选择椭圆模板中适当的椭圆过4,B两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.（3）在Oz上截取点O,使00,等于正视图中00,的反度，过点O作平行于轴Ox的轴0M,类似圆柱下底而的作法作出圆柱的上底而.（4）画圆锥的顶点.在Oz 上截取点P，使POr等于正视图中相应的高度.（5）成图.连接"V、PB',AH,整理得到三视图表示的儿何体的直观图.（如图⑵）M■>（2）画轴的下底面.正视图侧视图k、Z、/、o0'\//硕视图 随堂练习1.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（K寸自定）：（1）任意三角形；（2）平行四边形;（3）正八边形.答案：略2.判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“V”，错误的画“X”.（1）角的水平放置的直观图一定是角.（V）（2）相等的角在直观图中仍然相等.（X）（3）相等的线段在直观图中仍然相等.（X）（4）若两条线段平行，则在直观图屮对应的两条线段仍然平行.（丁）3.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形.②平行四边形的直观图是平行四边形.③正方形的直观图是正方形.④菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是（A）学生独立完成巩固所学知识A.①②B.①C.③④D・①②③④4.用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底而的投影是正五边形的中心0(尺寸自定)•答案：略归纳总结1.平面图形斜二测画法.2.简单儿何体斜二测画法.3.简单组合斜二测画法.4.注意事项.学生归纳，然后老师补充、完善前后联系加强知识的系统性作业1.2第二课时习案学生独立完成巩固知识提升能力备用例题例1用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图. 【解析】(1)如图1所示，在已知止五边形ABCDE中，取中心0为原点，对称轴FA为y输对点0与y轴垂直的是x轴，分别过3、E作GB〃y轴，处〃y轴，与x轴分别交于点G、H.画对应的轴0乂、oy,使Zxvy=45°.(2)如图2所示：以点O为中点,在*轴上取GH=GH,分别过G、丹，在牙'轴的上方，作G矽〃艸III,使G矽二丄GB；作丹F〃曲1|,使HE二=HE；在V轴的点O上方取0*=丄04,在点O,下方取OF二丄OF,并且以点F为中点，画CD^/x轴且使CDf=CD.22(3)连结A矽、BC、DE、EA,所得正五边形ABCDE就是止五边形ABCDE的直观图,如图3所示.【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图屮的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作处标轴的平行线段与处标轴相交，先确定这些平行线段在朋标轴上的端点的对应点,再确定这些点的对应点.例2已知一个正四棱台的上底面边长为2cm,下底面边长为6cm,高为4cm•川斜二 测画法画出此正四棱台的直观图.【分析】先画出上、卜底而正方形的直观图，再画出整个正四棱台的立观图.【解析】（1）画轴.以底面正方形的屮心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交T0,使ZxOy=45°,ZxOz=90°・（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段EF,使得EF=AB=6cm,在y轴上取线段GH,使得GH=丄AB,再过G、H分别作AB〃£F,CD〃EF,且使得CD的中点为H,2==AB的中点为G,这样就得到了止四棱台的下底面ABCD的直观图.（3）画上底面.在z轴上截取线段OOi=4cm,过0|点作0用〃。兀、O/〃Oy,使=45°,建立坐标系xOF，在划0凹中重复（2）的步骤画出上底而的直观图AiBiCQi.（3）再连结A4]、BB】、CC]、DD],得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图2）.【评析】川斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与兀轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与朋标轴不平行的线段的端点作处标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在航观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解.例3如右图所示，梯形4/1CQ1是一平面图形ABCD的直7观图.若AQi〃Oiy,AXBX=-CiDi=2,AXDX=O9DX=1.请画出原來的平血几何图形的形状，并求原图形的血枳.【解析】如图，建立直角坐标系my,在兀轴上截取OD9DE，OC=OfCi=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D}A}=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A]B]=2.连接BC,即得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.所以面积为S=—x2=5.2【评析】给出直观图來研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力•画法关键Z处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于轴的为垂直.