新人教A版必修2 高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图 导学案

1.2.3 空间几何体的直观图目标定位 1.掌握斜二测画法，能画简单几何体的直观图.2.理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.自主预习1.直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.3.立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变.其他同平面图形的画法.即时自测1.判断题(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直.(×)(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行.(√)(3)正方形的直观图为平行四边形.(√)(4)梯形的直观图不是梯形.(×)提示 (1)由直观图的性质知，原来垂直的不一定垂直.(2)斜二测画法中平行关系不变.(4)利用斜二测画法，所得梯形的直观图仍是梯形.2.利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的(  ) 解析 正方形的直观图可以是含45°角的平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案 C3.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝(  )A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析 在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.答案 C4.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm，若AB∥x轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________，若AB∥y轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________.解析 画直观图时，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.答案 4cm 2cm 类型一 画水平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.   (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画线段C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.【训练1】用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.类型二 由直观图还原平面图形【例2】如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形， 则原平面图形的面积为(  )A.a2B.2a2C.a2D.2a2解析 由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2a＝2a2.答案 B规律方法 由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.【训练2】一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为，则原梯形的面积为(  )A.2B.C.2    D.4解析 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的2倍，梯形O′A′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.答案 D类型三 空间几何体的直观图(互动探究)【例3】如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图. [思路探究]探究点一 由三视图画几何体的直观图的关键是什么？提示 由三视图画几何体的直观图时，首先要认清几何体的形状与大小，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图.探究点二 画柱体的直观图的一般步骤是什么？提示 画柱体的直观图一般分四步：(1)画轴：通常以高所在的直线为z轴建系.(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.解 由几何体的三视图可知该几何体是一个五棱柱，其直观图的画法如下：(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示.(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高.(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.【训练3】由如图所示几何体的三视图画出直观图. 解 (1)画轴.如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图.[课堂小结]1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间关系为：＝.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(  )A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.答案 B2.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为(  )A.平行四边形B.梯形 C.菱形D.矩形解析 因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.答案 D3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.解析 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案 104.如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.解 本题由几何体的三视图想象和画出实物原形是同学们学习中的一个难点，这类题型有助于培养同学们的空间想象力和分析问题、解决问题的能力.由三视图知该几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥.画法：(1)画轴：如图(1)，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；(2)画底面：利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′；(3)画正四棱锥的顶点：在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度；(4)成图：连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示. 基础过关1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析 ∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.答案 B2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(  )解析 根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.答案 C3.下列说法正确的个数是(  )①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.A.1B.2C.3D.4解析 ①②③错误，④正确.答案 A4.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________. 解析 由直观图可知其对应的平面图形△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝OA·OB＝6.答案 65.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.解析 将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.答案 6.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.解 (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示.(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图.7.某几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图. 解 画法：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.①(2)②画圆台的两底面.利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点.在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.能力提升8.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(  )A.ABB.ADC.BCD.AC解析 还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.答案 D9.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(  ) 解析 选项B中几何体的侧视图与给出的侧视图不符，选项C，D中几何体的俯视图与给出的俯视图不符，故排除选项B，C，D，故选A.答案 A10.在如图直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为______(填形状)，面积为______cm2.解析 由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8cm2.答案 矩形 811.用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图(尺寸自定).解 (1)画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点，分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它们都等于侧棱的长.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，并擦去辅助线，遮挡住的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图，如图(2). 探究创新12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解 四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.