第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.3空间几何体的直观图A级 基础巩固一、选择题1.关于斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是( )A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:由直观图的性质知B正确.答案:B2.利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图,正确的是图中的( )解析:正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.答案:C3.如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形,则原来图形的形状是( )
解析:直观图中正方形的对角线为,故在平面图形中平行四边形的高为2,只有A项满足条件,故A正确.答案:A4.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A.2cm B.3cm C.2.5cm D.5cm解析:因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直,现在距离为5cm,而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变,仍为5cm.答案:D5.若一个三角形采用斜二测画法,得到的直观图的面积是原三角形面积的( )A.B.2倍C.D.倍解析:底不变,只研究高的情况即可,此结论应识记.答案:A二、填空题6.如图所示,△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图,A′B′∥y轴,则△ABC是________三角形.解析:由于A′B′∥y轴,所以在原图中AB∥y轴,故△ABC为直角三角形.
答案:直角7.已知△ABC的直观图如图所示,则△ABC的面积为________.解析:△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=6,所以S=×3×6=9.答案:98.如图所示,水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′,已知A′C′=6,B′C′=4,则AB边的实际长度是_______.解析:在原图中AC=6,BC=4×2=8,∠AOB=90°,所以AB==10.答案:10三、解答题9.如图所示,已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC,且AB=BC=1,试画出它的原图形.解:(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴,使∠xOy=90°(O与A′重合);(2)在x轴上取C′,使A′C′=AC,在y轴上取B′,使A′B′=
2AB;(3)连接B′C′,则△A′B′C′就是原图形.10.画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求).解:画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(135°),∠xOz=90°,如图.(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP的长度是四棱锥的高.(4)成图.顺次连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,得四棱锥的直观图.B级 能力提升1.水平放置的△ABC有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正△A′B′C′,则△ABC为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能解析:如下图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.
答案:C2.如图,Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,直角边O′B′=1,则这个平面图形的面积是________.解析:因为O′B=1,所以O′A′=,所以在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OB=1,OA=2.所以S△AOB=×1×2=.答案:3.如图是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图.解:根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台.(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画两底面,由三视图知该几何体为六棱台,用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF,在z轴上截取OO′,使OO′等于三视图中的相应高度,过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.
(3)成图.连接A′A,B′B,C′C,D′D,E′E,F′F,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图②.