新人教A版必修2 高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图 课件

课程目标设置 主题探究导学 1.斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指斜投影，具体说是在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或平行于z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半. 2.相等的角的直观图一定相等吗？请举例说明.提示：不一定.如图，正方形ABCD的直观图为平行四边形A′B′C′D′,∠A=∠C,∠A′=∠C′,同样∠A=∠B，但∠A′≠∠B′. 1.空间几何体的直观图一定唯一吗？提示：不一定唯一.作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同. 2.直观图与三视图的联系与区别有哪些？提示：(1）联系：空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系.三视图能帮助人们从不同侧面和不同角度认识几何体的结构特征，直观图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象，同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图，也能够由几何体的直观图得到它的三视图.（2）区别：三视图在工程制图中被广泛采用，且线段的长度有严格的规定.主要是平行投影中的正投影的直观性较差，而绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影，可以显示空间几何体的直观形象，但作图复杂，且线段的长度不如三视图要求严格. 典型例题精析 【例1】用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.思路点拨：正三角形是轴对称图形，解答时应严格按照斜二测画法的步骤进行. 【练一练】1.利用斜二测画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形；②平行四边形的直观图还是平行四边形；③正方形的直观图还是正方形；④菱形的直观图还是菱形.其中正确的是____. 2.如图所示，正方形ABCD的边长为2cm,则它的水平放置的直观图的面积等于____cm2,周长等于____cm. 【例2】如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图. 思路点拨：由三视图先想象出空间几何体的结构特征；由一个四棱锥和四棱台组合而成的简单组合体，再画其直观图. 【练一练】1.在空间直角坐标系中，∠x′O′y′=____,∠y′O′z′=____,∠x′O′z′=____. 2.由下列几何体的三视图画出直观图. 【例3】把如图所示的水平放置的直观图A′B′C′D′还原为平面图形. 思路点拨：本题在直观图中已经给出了坐标轴，可仿照斜二测画法的规则完成. 【练一练】1.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是（）（A）正方形（B）矩形（C）菱形（D）一般的平行四边形 2.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O′B′=4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥x′轴,则A′C′的长为____. 知能巩固提高 一、选择题（每题5分，共15分）1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法错误的是()(A)用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形(B)几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高比例相同(C)水平放置的矩形的直观图是平行四边形(D)水平放置的三角形的直观图是三角形 【解析】选B.由直观图的画法知几何体的直观图宽是几何体的宽的长与高不变. 2.如下图建立坐标系，得到的边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是() 【解析】选C.由斜二测画法的规则知，A、B、D选项中，得到的直观图全等，C选项中，第一个图中，AB的长度不变，第二个图中，三边的长度都变化. 3.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）钝角三角形【解析】选B.由A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴可知AC⊥AB，又A′C′=A′B′，∴AC=2AB，所以△ABC是直角三角形，而非等腰直角三角形. 二、填空题（每题5分，共10分）4.以下几种说法：①用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是圆；②相等的角在直观图中仍是相等的角；③在斜二测画法中与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中可能不变；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点;⑤在平面图形中平行且相等的两条线段在直观图中仍然是平行且相等的线段；⑥作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同.其中正确说法的序号是____. 【解析】圆的水平放置的直观图是椭圆，①错误；相等的角在直观图中不一定是相等的角，②错误；在斜二测画法中与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中都会改变，③错误；④⑤正确；由直观图的特点知，⑥正确.答案：④⑤⑥ 5.一个建筑物上部是四棱锥形，下部是长方体形，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸相同.已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m,若按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为____cm,____cm,____cm,____cm. 【解析】由斜二测画法知，长方体的长应为20×100×=4(cm)，宽应为×5×100×=0.5(cm),高应为10×100×=2(cm),四棱锥的高应为8×100×=1.6(cm).答案：40.521.6 三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图. 【解析】（1）以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图①），再建立坐标系x′O′y′,使两轴的夹角为45°(如图②);(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′B′=AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′=AE，B′C′=BC.在y′轴上截取O′D′=OD.(3)连结E′D′，E′C′,C′D′，得到平面图形A′B′C′D′E′.(4)擦去辅助线，就得到所求的直观图(如图③). 7.画出底面半径为0.9cm,高为1.4cm的圆柱的直观图.【解题提示】在画几何体的直观图时，要抓住三点，一是x轴与y轴的夹角为45°，二是与x轴平行的长度不变，三是与y轴平行的长度减半. 【解析】画法：（1）画轴.画出x轴，y轴，z轴.(2)画圆柱的两底面，先画半径为0.9cm的圆O的直观图，使其半径为0.9cm.在z轴上取点O′,使OO′=1.4cm,过O′作x轴的平行线O′x′，过O′作y轴的平行线O′y′.利用O′x′和O′y′画出底面圆O′.（3）连线.连线AA′,BB′,则得到圆柱的直观图.（图略） 1.（5分）（2010·洛阳高一检测）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边为1的等腰梯形的面积是()(A)+(B)2+(C)1+(D)1+ 【解析】选B.将等腰梯形还原为原平面图形，可得一直角梯形，两底边长分别为1和+1，高为2，其面积S=故选B. 2.（5分）如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，B′C′∥x′轴，A′D′∥y′轴，那么A′B′、A′D′、A′C′三条线段对应原图形中线段AB、AD、AC中()(A)最长的是AB，最短的是AC(B)最长的是AC，最短的是AB(C)最长的是AB，最短的是AD(D)最长的是AD，最短的是AC 【解析】选C.因为B′C′∥x′轴，A′D′∥y′轴，所以在原图中AD⊥BC，又D′是B′C′边的中点，所以在原图中D是BC的中点，△ABC为等腰三角形，故原△ABC中，最长的边是AB，最短的是AD. 3.（5分）如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确图形的序号是____. 【解析】(2)、（3）错在虚线的使用上，（4）是放置在你水平视线的右上角绘制的，故只有（1）对.答案：（1） 4.(15分)如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图. 【解析】（1）画轴.如图（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′,使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′（与画⊙O一样）.（3）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.（4）成图.连接PA′、PB′、A′A、B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图（2）.