空间几何体的直观图与斜二测画法（正式）

中学数学主讲人梁志锋1.2空间几何体的三视图和直观图-2高中必修二第4课 安全框回忆旧知，引入新课上节课我们学习了投影和空间几何体的三视图画法 安全框回忆旧知，引入新课上节课我们学习了投影和空间几何体的三视图画法，根据画法，我们可以将空间几何体画在纸上,用平面图形表示出来 安全框回忆旧知，引入新课上节课我们学习了投影和空间几何体的三视图画法，根据画法，我们可以将空间几何体画在纸上,用平面图形表示出来.我们能够根据几何体的三视图想象空间几何体的形状和结构. 正视图侧视图俯视图问题1请同学们看右图的三视图，你能想象出几何体是什么样子吗？安全框 正视图问题1请同学们看右图的三视图，你能想象出几何体是什么样子吗？安全框 正视图侧视图问题1请同学们看右图的三视图，你能想象出几何体是什么样子吗？安全框 正视图侧视图俯视图问题1请同学们看右图的三视图，你能想象出几何体是什么样子吗？安全框 几何体的示意图如右图安全框示意图 安全框右图也叫做几何体的直观图直观图 安全框问题2几何体的三视图与直观图，都是用平面图形表示空间几何体知识探究（一） 安全框问题2几何体的三视图与直观图，都是用平面图形表示空间几何体，对比两种表示方式，直观图有哪些优势呢？知识探究（一） 安全框用三视图表示空间几何体，需要我们去想象空间几何体的形状和结构，缺乏直观性知识探究（一） 安全框用三视图表示空间几何体，需要我们去想象空间几何体的形状和结构，缺乏直观性，而空间几何体的直观图既有立体感知识探究（一） 安全框用三视图表示空间几何体，需要我们去想象空间几何体的形状和结构，缺乏直观性，而空间几何体的直观图既有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系.知识探究（一） 安全框空间几何体的直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要的意义.知识探究（一） 安全框问题3如何在画出空间几何体的直观图呢？知识探究（一） 安全框空间几何体的直观图是一种平行投影下的图像知识探究（一） 安全框空间几何体的直观图是一种平行投影下的图像，一般我们采用斜二测画法来作空间几何体的直观图.知识探究（一） 安全框斜二测画法是空间几何体直观图的画法基础知识探究（一） 安全框斜二测画法是空间几何体直观图的画法基础，斜二侧画法是一种特殊的平行投影的画法.知识探究（一） 安全框要画空间几何体的直观图,首先要学会水平放置的平面图形的画法. 安全框问题1一本书正面放置，其视觉效果是一个矩形知识探究（二） 安全框问题1一本书正面放置，其视觉效果是一个矩形；把一本书水平放置，其视觉效果还是一个矩形吗？知识探究（二） 安全框把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图：知识探究（二） 安全框矩形知识探究（二） 安全框矩形平行四边形知识探究（二） 安全框问题2矩形与它的水平放置后的直观图有什么关系呢？知识探究（二） 安全框矩形平行四边形知识探究（二） 安全框水平放置之后，原图中平行的边在直观图中仍然是平行的，原图相邻的两边是垂直的，在直观图中，相邻的两边不再垂直.知识探究（二） 安全框矩形平行四边形知识探究（二） 安全框长方形的长与平行四边形的长是相等的，长方形的宽变短了.知识探究（二） 安全框问题3请同学们想象一个多边形的水平放置的直观图是什么几何图形呢？知识探究（二） 安全框多边形的水平放置的直观图仍然是多边形知识探究（二） 安全框多边形的水平放置的直观图仍然是多边形，边长与角的大小有可能会发生改变.知识探究（二） 安全框问题4画一个水平放置的多边形的直观图，关键是什么？知识探究（二） 安全框画一个水平放置的多边形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置知识探究（二） 安全框画一个水平放置的多边形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，顶点位置确定后，连结顶点，画出多边形的直观图.知识探究（二） 安全框我们可以借助平面直角坐标系来确定水平放置的多边形各顶点的位置.知识探究（二） 安全框问题5平面直角坐标系水平放置之后是什么样子呢？知识探究（二） 安全框xyo知识探究（二） 安全框xyo知识探究（二） 安全框xyox'y'o'知识探究（二） 安全框当平面直角坐标系水平放置后,得到的直观图中,x轴记作x'轴,y轴记作y'轴,交点o记作点o'知识探究（二） 安全框当平面直角坐标系水平放置后,得到的直观图中,x轴记作x'轴,y轴记作y'轴,交点o记作点o',此时x'轴与y'轴不再垂直,我们规定,两者的夹角是45°.知识探究（二） 安全框下面就让我们通过一个具体的例子来看一下什么是斜二测画法以及它的作图要点和步骤.知识探究（二） 安全框例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.知识探究（二） 画法如图1，正六边形ABCDEFFAEDCB安全框图1 取AD所在直线为x轴FAEDCBx图1安全框画法 取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴FAEDCByNMx图1安全框画法 取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.FAOEDCByNMx图1安全框画法 在图2中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′画法安全框图2x'o'y' 在图2中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°画法安全框图2x'o'y' 在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD安全框画法图2x'o'A′D′y' 在图2中，在y′轴上取M′N′=MN画法x'N′A′D′安全框y'图2M′o' 安全框在图2中，以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BCx'N′A′D′B′画法y'图2M′C′o' 安全框在图2中以M′为中点画E′F′平行于x′轴,并且等于EF.画法x'E′F′M′N′A′D′B′y'图2C′o' 安全框在图2中连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′画法x'E′F′M′C′N′A′D′B′y'图2o' FAOEDCByNMxx'y'o'E′F′M′C′N′A′D′B′安全框图1图2 安全框在图2中，擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′,如图3.画法 安全框FAEDCBE′F′C′A′D′B′图1图2 斜二测画法的步骤安全框 斜二测画法的步骤安全框(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 斜二测画法的步骤安全框(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′ 安全框(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. 斜二测画法的步骤安全框(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. 斜二测画法的步骤安全框(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变, 斜二测画法的步骤安全框(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 安全框现在我们看一些常见的空间图形在斜二测画法下的直观图.知识探究（二） 安全框问题1圆是常见的几何图形，但它不是多边形，知识探究（二） 安全框问题1圆是常见的几何图形，但它不是多边形，那么水平放置的圆的直观图如何画呢？知识探究（二） 安全框生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，知识探究（二） 安全框立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆.知识探究（二） 安全框立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆.在实际画水平放置的圆的直观图时，常用下面图所示的椭圆模板.知识探究（二） 安全框椭圆模板 安全框椭圆模板 常用的一些平面图形的直观图安全框 安全框问题1空间几何体的的直观图该如何画呢？知识探究（三） 安全框问题1空间几何体的的直观图该如何画呢？同样，我们通过一个例题来具体说明.知识探究（三） 安全框空间几何体的斜二测画法例2用斜二测画法画长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图. 安全框1.画轴如图1,画x轴、y轴xy 安全框1.画轴如图1,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,zxyzO 安全框1.画轴如图1,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,∠xOy=45°,∠xOz=90°.zxyzO 安全框2.画底面以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4厘米zxyzMNO 安全框2.画底面以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4厘米;在y轴上取线段PQ，使PQ=厘米.zxyzMPNQO 安全框分别过点M和N作y轴的平行线2.画底面xyzMPNQO 安全框过点P和Q作x轴的平行线2.画底面xyzMPNQO 安全框xAyzBMPNQDCO设它们的交点分别为A,B,C,D，2.画底面 安全框xAyzBMPNQDCO四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.2.画底面 安全框过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线3.画侧棱CPQNMDBAxyz 安全框在这些平行线上分别截取2厘米长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.3.画侧棱CPQNMBAB'A'C'D'xyzD 安全框4.成图顺次连接A′，B′，C′，D′.CPQNMDBAB'A'C'D'xyz 安全框去掉辅助线4.成图ACDBB'A'C'D' 安全框被遮挡的部分改为虚线4.成图ACDBB'A'C'D' 安全框长方体的直观图ACDBB'A'C'D' 要画好立体图形，先要画好平面图形.归纳总结安全框 要画好立体图形，先要画好平面图形.要画好平面图形，关键在于确定顶点的位置.归纳总结安全框 要画好立体图形，先要画好平面图形.要画好平面图形，关键在于确定顶点的位置.所以直观图的画法归结为确定顶点的位置的画法.归纳总结安全框 安全框空间几何体的三视图与直观图，知识探究（四） 安全框空间几何体的三视图与直观图，它们都是利用平面图形表示空间几何体.知识探究（四） 安全框空间几何体的三视图与直观图，它们都是利用平面图形表示空间几何体.下面我们由几何体的三视图画出它的直观图.知识探究（四） 正视图侧视图俯视图安全框例3已知几何体的三视图如右图，画出它的直观图. 正视图安全框例3已知几何体的三视图如右图，画出它的直观图. 正视图侧视图安全框例3已知几何体的三视图如右图，画出它的直观图. 正视图侧视图俯视图安全框例3已知几何体的三视图如右图，画出它的直观图. 分析由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体安全框 分析由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥安全框 分析由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.安全框 分析我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.安全框 画x轴、z轴，使∠xOz=90°安全框Oxz1.画轴 在x轴上取A，B两点，安全框2.画圆柱的下底面xABzO 在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径且OA=OB.安全框2.画圆柱的下底面xABzO 选择椭圆模板中适合的椭圆安全框OxABz2.画圆柱的下底面 椭圆过A,B两点，使它成为圆柱的下底面.安全框OxABz2.画圆柱的下底面 在Oz轴上取点O'，使OO'的长度等于正视图中长方形的高.安全框3.画圆柱的高和上底面OO'xzAB 过点O'作平行于轴Ox的轴O'x',安全框3.画圆柱的高和上底面OO'xzx'AB 过点O'作平行于轴Ox的轴O'x',类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.安全框3.画圆柱的高和上底面zOO'xzx'ABB'A' 在Oz轴上截取点P,使PO等于正视图中相应的高度.安全框Oxx'O'zP4.画圆锥的顶点ABB'A' 连接PA′，PB′，AA′，BB′.安全框4.画圆锥的顶点Oxx'O'zPABB'A' 安全框OO'PABB'A'5.成图去掉辅助线 遮挡的部分用虚线表示.5.成图安全框 从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形.安全框知识探究（五） 在中心投影下，也可以画出空间图形的直观图.安全框知识探究（五） 安全框知识探究（五）问题1你能想象一下，正方体在中心投影下的直观图？ 安全框知识探究（五）正方体在中心投影下的直观图 我们已经很熟悉平行投影下正方体的直观图，你能想象出平行投影下的投影线吗？安全框知识探究（五）问题2 安全框知识探究（五）平行投影下正方体的直观图 安全框知识探究（五）平行投影光线1 安全框知识探究（五）平行投影光线2 安全框中心投影下的直观图平行投影下的直观图 安全框知识探究（五）问题3几何体在平行投影下的直观图与中心投影下的直观图有什么区别呢？ 安全框中心投影下的直观图平行投影下的直观图 安全框知识探究（五）几何体在平行投影下的直观图前后面大小一样，中心投影下的直观图“近大远小”. 安全框由于中心投影能够更好地体现“近大远小”，所以立体感更强知识探究（五） 安全框由于中心投影能够更好地体现“近大远小”，所以立体感更强，而平行投影由于投影线是平行的，前后面大小一样，作图更方便.知识探究（五） 安全框课堂练习练习1判断下列结论是否正确，正确的括号内画“√”，错误的画“╳” 安全框练习1(1)角的水平放置的直观图一定是角（）课堂练习 安全框课堂练习 练习1(1)角的水平放置的直观图一定是角（√）课堂练习 安全框练习1(2)相等的角在直观图中仍然相等（） 安全框 安全框FAEDCBE′F′C′A′D′B′ 安全框练习1(2)相等的角在直观图中仍然相等（╳） 安全框练习1(3)相等的线段在直观图中仍然相等() 安全框 安全框FAEDCBE′F′C′A′D′B′ 安全框练习1(3)相等的线段在直观图中仍然相等(╳) 安全框练习1(4)若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行（） 安全框 安全框FAEDCBE′F′C′A′D′B′ 安全框练习1(4)若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行（√） 安全框练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的. ①三角形的直观图是三角形安全框练习2利用斜二测画法得到的练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的. 安全框练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的.①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形安全框练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的. 安全框练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的.②平行四边形的直观图是平行四边形 安全框③正方形的直观图是正方形练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的. 安全框③正方形的直观图是正方形练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的. ④菱形的直观图是菱形安全框练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的. ④菱形的直观图是菱形安全框练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的. 以上结论正确的是：（A）A.①②B.①C.③④D.①②③④安全框练习2利用斜二测画法得到的下列结论，哪些是正确的. 安全框知识拓展 安全框意大利艺术家达﹒芬奇在他的绘画作品中广泛地运用了透视理论，主要是中心投影.知识拓展 安全框法国数学家笛沙格在他的透视法中，给出了空间几何体透视像的画法，已经如何从平面图形中正确地计算几何体的尺寸大小的方法，主要是运用正投影.知识拓展 安全框.经过法国数学家蒙日的深入研究，出版了《画法几何学》，在概念和方法上产生了深远的影响.知识拓展 安全框.这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值，从此画法几何成为一门独立的几何分支科学.蒙日成为画法几何的创始人.知识拓展 安全框1.几何体的三视图与直观图的联系与区别课堂总结 安全框1.几何体的三视图与直观图的联系与区别(1)三视图和直观图都是平面图形课堂总结 安全框1.几何体的三视图与直观图的联系与区别(1)三视图和直观图都是平面图形(2)它们能从不同侧面、不同角度对几何体的结构特点进行认识.课堂总结 安全框1.几何体的三视图与直观图的联系与区别(3)三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图，我们可以得到一个精确的几何体.课堂总结 安全框1.几何体的三视图与直观图的联系与区别(3)三视图在生产活动中得到广泛的应用（零件图纸、建筑图纸等都是三视图）.课堂总结 安全框1.几何体的三视图与直观图的联系与区别(4)直观图是空间几何体的整体刻画，它能够让人们有直观的感受，去想象空间几何体.课堂总结 安全框2.斜二测画法课堂总结 安全框2.斜二测画法课堂总结(1)用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法 安全框2.斜二测画法(1)而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.课堂总结 安全框2.斜二测画法(1)而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形.课堂总结 安全框2.斜二测画法(2)在平面上确定点的位置，可以借助平面直角坐标系课堂总结 安全框2.斜二测画法(3)画空间几何体的直观图时，先利用平面图形的斜二测画法，画出空间几何体的底面，课堂总结 安全框2.斜二测画法(3)画空间几何体的直观图时，先利用平面图形的斜二测画法，画出空间几何体的底面，再利用z轴画出几何体的高，课堂总结 安全框2.斜二测画法(3)画空间几何体的直观图时，先利用平面图形的斜二测画法，画出空间几何体的底面，再利用z轴画出几何体的高，最后画出其他底面.课堂总结 安全框2.斜二测画法(4)画简单组合体的直观图，先确定简单几何体是由哪些基本几何体组成的,课堂总结 安全框2.斜二测画法(4)画简单组合体的直观图，先确定简单几何体是由哪些基本几何体组成的，按照适当的顺序将基本几何体的直观图画出,得到简单组合体的直观图.课堂总结 安全框2.斜二测画法(5)根据几何体的三视图，去画几何体的直观图，需要想象出空间几何体，按照斜二测画法的步骤，画出直观图.课堂总结 安全框2.斜二测画法（6）画空间几何体的直观图时，看得见的棱或者轮廓线用实线表示，课堂总结 安全框2.斜二测画法（6）画空间几何体的直观图时，看得见的棱或者轮廓线用实线表示，看不见的棱或者轮廓线用虚线表示.课堂总结 安全框课堂总结2.斜二测画法（7）同一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观图也是会有所不同. 3.平行投影与中心投影下几何体的直观图由于中心投影能够更好地体现“近大远小”，所以立体感更强，安全框课堂总结 3.平行投影与中心投影下几何体的直观图而平行投影由于投影线是平行的，前后面大小一样的，作图更方便.安全框课堂总结 安全框课后作业：课本21页4,5题