第一课时空间几何体的直观图（一）

第一课时空间几何体的直观图（一）教学目标：斜二测画法教学重点：掌握水平放置的空间图形的直观图的画法和线共点问题的证明.教学难点：根据直观图想象真实的空间图形.教学过程：【概念的引入】空间几何体的直观图对于几何体的直观图，我们并不陌生．图l．1—2一图l．1—10都是相应几何体的直观图．它们是怎样画出来的呢?在立体几何教学中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的画法．例如，在桌面上放置一个正六边形，我们从空间某一点看这个六边形时，它是什么样子?如何画出它的直观图?下面我们以正六边形为例，说明水平放置的平面图形‘的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图．斜-N画法是一种特殊的平行投影画法．例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图．画法：（1）如图l．2—10(1)，在正六边形ABCDEF中，取对角线所在直线为轴，取对称轴为轴，轴与轴交于点.在图l.2—10(2)中，画相应的轴、轴，两轴相交于，使.（2）图1．2—10(2)，以点为中心，在轴上截取，在轴上截取，以点为中点画平行于轴，并且等于；再以为中点画平行于轴，且等于.（3）顺次连结、、、，并擦去辅助线轴和，便获得六边形水平放置的直观图（图1．2—10(3)）.图1.2—10上述画直观图的方法称为斜二测画法，它的步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段．(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半．生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆．在实际画水平放置的圆的直观图时，我们常用如图1．2—11所示的椭圆模板．立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆．图1．2—11 下面我们探求空间几何体的直观图的画法．例2用斜二测画法画长、宽、高分别是4、3、2的长方体的直观图．画法：(1)画轴．如图1.2—12，画轴、轴、轴，三轴相交于点，使，．图1.2—12(2)画底面．以点为中点，在轴上取线段，使；在轴上取线段，使．分别过点和作轴的平行线，过点和作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，四边形就是长方体的底面．画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取．用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感．(3)画侧棱．过，，，各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2长的线段，，，．(4)成图．顺次连接，，，，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．例3画水平放置的正五边形的直观图画法：（1）在已知正五边形ABCDE中，取中心为原点，对称轴为轴，过点且与轴垂直的直线为轴，分别过、作∥轴、∥轴，与轴分别交于、.画相应的轴、轴，使.（2）以点为中心，在轴上截取，分别过、，在轴的上方，作∥轴、∥轴，使，；在轴的点上方取，在点下方取，并且以点为中心，画∥轴，且使.（3）顺次连结、、、，所得到的五边形就是水平放置的正五边形ABCDE的直观图.例4画棱长为的正方体的直观图.画法：（1）作水平放置的正方形的直观图ABCD，使，，.（2）过作轴使，分别过A、B、C、D，沿轴正方向取.（3）连结、、、，所得到的图形就是所求的正方体的直观图.例5已知的平面直观图是边长为的正三角形，求原三角形的面积. 解析：如图，找到三角形ABC的高是关键.∵的高，∴，∴，∴.注意：1.设平面直观图的面积为，平面图的面积为，则；设空间几何体的直观图的体积为，空间几何体的体积为，则.2.本题应明确原图形与直观图的线段长度关系.合理地建立坐标系也是解决本题的一大关键.【随堂练习】1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定)：(1)任意三角形；(2)平行四边形；(3)正八边形．2．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．(1)角的水平放置的直观图一定是角．()(2)相等的角在直观图中仍然相等．()(3)相等的线段在直观图中仍然相等．()(4)若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．()3．利用斜二测画法得到的图形是①三角形的直观图是三角形．②平行四边形的直观图是平行四边形．③正方形的直观图是正方形．④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是()(A)①②(B)①(C)③④(D)①②③④4．用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心0(尺寸自定)．【总结提炼】这一节课主要学习了空间几何体的直观图的一种画法，斜二测画法.其中主要学习了水平放置图形、立体图形的画法，以及由三视图还原直观图.这一节课是了解内容，学生大体会作图即可.【课后作业】用斜二测画法画出水平放置的一角为，边长为4的菱形的直观图．【教学反思】我们的位置.我们找准自己的位置了吗？身为教师，我们的目的是教书育人.教给学生知识，教会学生怎样做人，这是我们教书育人应该做的.有时候我们老师会把自己摆在很高的位置，这样就和学生拉远了距离，肯定得不到学生的认可.当然今天我们所要说的不是这个问题.比如老师有老师的位置，学生有学生的位置.老师不能和学生混为一谈，学生也不能喝老师混为一谈.再比如学生进入老师的办公室要喊报告，这是学生的位置.学生有问题老师要热心的讲解，要认真负责而不是讽刺挖苦，这是老师的位置. 第二课时空间几何体的直观图（二）教学目标：会根据三视图画出直观图.教学重点：掌握水平放置的空间图形的直观图的画法和线共点问题的证明.教学难点：根据三视图想象真实的空间图形，并根据三视图画出直观图..教学过程：【例析方法】例3如图l．2—13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体．它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥．画法：(1)画轴．如图1.2—14(1)，画轴、轴，使．(2)画圆柱的下底面．在轴上取，两点，使的长度等于俯视图中圆的直径，且．选择椭圆模板中适当的椭圆过，两点，使它为圆柱的下底面．图1．2—13图1．2一l4(3)在上截取点，使等于正视图中的长度，过点，作平行于轴的轴，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(4)画圆锥的顶点．在上截取点，使等于正视图中相应的高度．(5)成图．连接，，，，整理得到三视图表示的几何体的直观图(图1．2—14(2))．空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图．同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．从投影的角度看，三视图和用斜二i贝0画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形．在中心投影下，也可以画出空间图形．图1．2—15(1)是中心投影下正方体的直观图，它与平行投影下正方体的直观图(图1．2—15(2))有什么联系与区别呢?空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式，图1．2—15我们可以根据问题的实际情况，选择不同的表现方式．探究(1)图1．2-16是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构特征，并画出它的直观图吗?(2>空间几何体的三视图和直观图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构，它们各有哪些特点?二者有何关系【随堂练习】1．下图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．图1．2-16 【总结提炼】根据三视图，画出直观图，关键是根据三视图给出的数据准确画出各水平面的直观图.【课后作业】1．如图，已知几何体的三视图，想象对应的几何体的结构特征，并画出它的直观图．2．如图是一个简单组合体的三视图，想象它表示的组合体的结构特征，并尝试画出它的示意图(尺寸不作严格要求)．3.一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底都为1的等腰梯形，求原四边形的面积.阅读与思考画法几何与蒙日画法几何就是在平面上绘制空间图形，并在平面图上表达出空间原物体各部分的大小、位置以及相互关系的一门学科．它在绘画、建筑等方面有着广泛的应用．画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术．意大利艺术家达·芬奇(Le0nardodaVinci，1452—1519)在他的绘画作品中已经广泛地运用了透视理论，主要是中心投影．法国数学家笛沙格(Desarque，1593—1662)在他的“透视法” 中给出了空间几何体透视像的画法，以及如何从平面图中正确地计算出几何体的尺寸大小的方法，主要是运用正投影。以后又经过法国数学家蒙日(Monge，1745-1818)的深入研究，并在1799年出版了《画法几何学》一书．在该书中，蒙日第一次详细阐述了怎样把空间(三维)物体投影到两个互相垂直的平面上，并根据投影原理(这种原理后来发展成射影几何学)推断出该空间物体的几何性质．蒙日的《画法几何学》一书不论是在概念上，还是在方法上都有深远的影响．这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值，从此画法几何就成为一门独立的几何分支学科．蒙日成为画法几何的创始人．蒙日生长在法国大革命时代，曾任海军部长，并创立了巴黎多科工艺学校．他出生在迪隆附近的一个小商人家庭，16岁就在里昂学院任讲师，他熟练地以比例尺绘出他家乡的地图，因而被梅育爱尔军事学院聘为绘图员．l768年，蒙日在梅育爱尔担任数学教授，那时他只有23岁．l780年，他被选为巴黎科学院院士，迁居巴黎后曾在海军学校教书．为了从数据中算出要塞中炮兵阵地的位置，蒙日用几何方法避开了麻烦的计算，他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的聪明方法，在实际中有着广泛的应用，并导致画法几何的产生．法国大革命前后，由于军事建筑上的迫切需要，蒙日的画法几何方法被列为军事秘密，所以很久未能公诸于世，直到当时的军事约束解除后，蒙日才公布了他的研究成果，这已是他建立画法几何之后30年的事了．【板书设计】【课后小记】