第1节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图.（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） 1.空间几何体的结构特征 2.空间几何体的三视图三视图：用得到，这种投影下与投影面的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是的.三视图包括、、.正投影平行相同完全正视图侧视图俯视图 3.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面.斜二测45°(或135°)垂直 (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中，平行于y轴的线段长度在直观图中.还是线段保持不变变为原来的一半 1.下列有关棱柱的命题中正确的是()A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等 解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱.答案：C 2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱，圆锥，球体的组合体解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面.答案：C 3.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ 解析：正方体的正视、侧视、俯视图都是正方形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及圆心；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯形、梯形(与正视图可能不相同)、三角形(内外两个三角形且对应顶点相连)；正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形.答案：D 4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于.解析：如图所示.原平面四边形面积为a×2＝2.答案：2 5.如图所示，图①、②、③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是，图②是，图③是(说出视图名称). 解析：结合三视图的有关概念知，图①是正视图，图②是侧视图，图③是俯视图.答案：正视图 侧视图 俯视图 1.几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱). (2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.2.理解并掌握空间几何体的结构特征，对培养空间想象能力，进一步研究几何体中的线面位置关系或数量关系非常重要，每种几何体的定义都是非常严谨的，注意对比记忆. 下面有四个命题：(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4 [思路点拨] [课堂笔记]命题(1)不正确；正棱锥必须具备两点，一是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底面的中心；命题(2)缺少第一个条件；命题(3)缺少第二个条件；而命题(4)可推出以上两个条件都具备.[答案]A 1.几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”，如图所示(以长方体三视图为例)： [特别警示]画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线.2.应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图中所涉及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、线、面之间的关系及图中的一些线段的长度，这样我们就可以解出有关的问题. (2009·山东高考)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2π＋2B.4π＋2C.2π＋D.4π＋ [思路点拨] [课堂笔记]由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为V＝π·12·2＋·()2·＝2π＋.[答案]C 1.注意原图与直观图中的“三变、三不变”：“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变（减半），图形改变.“三不变”平行性不变,与x轴平行的线段长度不变,相对位置不变. 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2直观图. 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.[思路点拨] [课堂笔记]建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的高.把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点C变为点C′，且OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变. 已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得，所以OC′＝a＝a，所以原三角形ABC的高OC＝，所以S△ABC＝×a×a＝a2. 若△ABC是边长为a的正三角形，则其直观图△A′B′C′的面积是多少？解：法一：由于直观图的面积S′与原图形的面积S间满足)，∴易知△A′B′C′的面积为. 法二：如图(1)(2)所示的实际图形和直观图. 由(2)可知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝ 三视图是新课标新增的内容，是一个知识交汇的载体，因而是高考的重点内容之一.但新课标对这部分内容的要求较低，经常与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查.2009年广东高考将三视图与几何体的体积计算、空间位置关系融为一体，考查了学生的空间想象能力，是一个新的考查方向. [考题印证](2009·广东高考)(12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG. 【解】(1)该安全标识墩侧视图如下图所示.┄┄┄┄┄┄┄┄(4分) (2)该安全标识墩的体积V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝×40×40×60＋40×40×20＝64000(cm3).┄┄(6分)(3)由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH.┄┄┄┄┄┄┄┄(8分) 设点O是EFGH的对称中心，∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，∴PO⊥FH.┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，∴HF⊥平面PEG.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(11分)而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分) [自主体验]一个多面体的直观图及正视图、侧视图、俯视图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点.(1)求证：MN∥平面ACC1A1；(2)求证：MN⊥平面A1BC. 证明：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝a.(1)连结AC1、AB1.由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形. 由矩形性质得AB1过A1B的中点M.在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1.又AC1⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1，所以MN∥平面ACC1A1. (2)因为BC⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AC1.在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1.又因为BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.由MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC. 1.对于斜二测画法叙述正确的是()A.三角形的直观图是三角形B.正方形的直观图是正方形C.矩形的直观图是矩形D.圆的直观图一定是圆解析：正方形、矩形的直观图都是平行四边形，故B、C错误；圆的直观图是椭圆，故D错误.答案：A 2.将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图(2)，则该几何体按图(2)所示方向的侧视图为() 解析：由正三棱柱的性质得侧面AED⊥底面EFD，则侧视图必为直角梯形，又线段BE在梯形内部.答案：A 3.下图是由哪个平面图形旋转得到的() 解析：图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形.答案：A 4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的表面积是. 解析：由几何体的三视图可知此几何体是圆柱与球体的组合体，S表＝4πR2＋2πr2＋2πrh＝4π＋2π＋6π＝12π.答案：12π 5.(2010·广州模拟)已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号). ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析：由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则其一定是矩形.答案：①③④⑤ 6.用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长. 解：如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，根据相似三角形的性质得，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9cm.