[数学]第一章--12--123--空间几何体的直观图

第一章1.21.2.3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三 美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系． 问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示：为了直观，不一定．问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？提示：平行四边形、扁圆形，为增加直观性．问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？提示：不相同． 1．用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使，它们确定的平面表示水平面．∠x′O′y′＝45°(或135°) (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，．平行保持原长度不变长度变为原来的一半 2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，用虚线表示．高线被遮线 1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角化45°(或135°)． [例1]画出水平放置的正五边形的直观图．[思路点拨]首先应在原图形中，根据图形的对称性建立平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出直观图． [精解详析](1)取正五边形的中心O为原点，对称轴FA所在直线为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴，建立如图①所示的直角坐标系，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. [一点通](1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． 1．画出边长为1的正三角形的直观图．解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. [例2]2011年10月7日，我国用长征系列火箭成功把法国W3C通信卫星送入预定轨道．在火箭发射时，要预先搭建发射平台，如图所示，其主体结构为长方体，试画出长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图． [思路点拨]用斜二测画法作空间几何体的直观图，建立恰当坐标系十分关键．在长方体中常选取一顶点为原点，过该顶点的三条棱为轴建系；也可以底面矩形的对角线交点为原点建系． [精解详析](1)画轴．如下图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如上图②. [一点通](1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． 2．如图所示，由下列几何体的三视图画出它的直观图． 解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高． (4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②即是三视图表示的几何体的直观图． [精解详析]如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.(2分) [一点通]直观图还原平面图形时，要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量，计算时要结合两个坐标系确定数据． 3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．答案：9 4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是() 解析：∵A′D′∥B′C′，∴AD∥BC.∵∠A′B′C′＝45°，∴∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.∴四边形ABCD是直角梯形，如图所示． 答案：D 1．画空间几何体的直观图，要先画底面，然后画侧棱，整理成图．2．直观图与实物图相比较，有“三不变，两变”，“三不变”是指直线的平行性、点的共线性、线的共点性不变；“两变”是指直观图与原图中的角的大小，线段的长度有变化． 3．三视图能帮助我们从不同角度认识几何体的结构特征，直观图是对空间几何体的整体刻画．我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象，同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图，也可以由几何体的直观图得到它的三视图． 点击下图片进入“应用创新演练”