课时作业（36）空间几何体的结构特征及三视图和直观图

课时作业(三十六) 第36讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图时间：45分钟  分值：100分                   1．有一个几何体的三视图如图K36－1所示，这个几何体应是一个(  )图K36－1A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对2．如图K36－2所示几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(  )图K36－2A．①②B．①③C．①④D．②④3．一个几何体的主视图和左视图如图K36－3所示，其中主视图的底边长为1，左视图的底边长为3、高为2，则这个空间几何体俯视图的面积是(  )A．2B．3C.D．4图K36－34．已知三棱锥的俯视图与左视图如图K36－4，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为(  )图K36－4图K36－55．将正三棱柱截去三个角(如图K36－6(1)所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体如图K36－6(2)，则该几何体按图(2)所示方向的左视图(或称左视图)为(  ) 图K36－6图K36－76．2011·浙江卷若某几何体的三视图如图K36－8所示，则这个几何体的直观图可以是(  )图K36－8图K36－97．2011·江西卷将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图K36－10所示，则该几何体的左视图为(  )图K36－10图K36－118．某几何体的三视图如图K36－12所示，那么这个几何体是(  )图K36－12A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台9．某几何体的一条棱长为m，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则m的值为(  )A．3B．2C．4D．210．如果一个几何体的三视图如图K36－13所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为________． 图K36－1311．2011·潍坊二模一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．12．2011·惠州模拟已知一几何体的三视图如图K36－14，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体．图K36－1413．一个几何体的主视图和左视图如图K36－15所示，其中主视图的底边长为1，左视图的底边长为3、高为2，则这个空间几何体俯视图的面积是________．图K36－1514．(10分)已知，如图K36－16是一个空间几何体的三视图．(1)该空间几何体是如何构成的？(2)画出该几何体的直观图；(3)求该几何体的表面积和体积．图K36－1615．(13分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图K36－17所示)，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1m，若平均每1m2菜地所产生的经济效益是300 元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(精确到1元)图K36－1716．(12分)一个几何体的三视图如图K36－18所示，其中主视图和左视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；(3)在(2)的情形下，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值．图K36－18 课时作业(三十六)【基础热身】1．A 解析根据三视图，这个空间几何体是棱台．2．D 解析正方体的三个视图都相同，而三棱台的三个视图各不相同，正确答案为D.3．B 解析这是一个将一个侧面水平放置的三棱柱，其俯视图如图，俯视图是一个边长分别为1,3的矩形，故其面积为3.4．C 解析空间几何体的主视图和左视图的“高平齐”，故主视图的高一定是2，主视图和俯视图“长对正”，故主视图的底面边长为2，根据左视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合这些可知，这个空间几何体的主视图可能是C.【能力提升】5．A 解析截前的左视图是一个矩形，截后改变的只是B，C，F方向上的．6．B 解析由主视图可排除A，C；由左视图可判断该几何体的直观图是B.7．D 解析被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合，另一条为正方体的体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有选项D符合．8．B 解析由所给三视图与直观图的关系，可以判定对应的几何体为如图所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD，AB⊥BC，BC∥AD.9．A 解析结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图，设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，由题意得＝，＝，＝⇒a2＋b2＋c2＝9，所以对角线的长为＝3.∴选A.10. 解析根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h＝.由于三视图中“宽相等”，那么左视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为，则该几何体的左视图的面积为S＝××＝.11．2a2 解析一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，而直观图面积S′＝a2.所以原平面四边形的面积为＝2a2.12．①③④ 解析如图所示长方体为几何体的直观图． 当选择的四个点为A、B、C、D时，可知①正确；当选择B、A、B1、C时，可知③正确；当选择A、B、D、D1时，可知④正确．13．3 解析这是一个将一个侧面水平放置的三棱柱，其俯视图如图．俯视图是一个边长分别为1,3的矩形，故其面积为3.14．解答(1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥．(2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图．(3)由题意可知，该几何体是由长方体ABCD－A′B′C′D′与正四棱锥P－A′B′C′D′构成的简单几何体．由图易得：AB＝AD＝2，AA′＝1，PO′＝1，取A′B′中点Q，连接PQ，从而PQ＝＝＝，所以该几何体表面积S＝(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)PQ＋(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)AA′＋AB·AD＝4＋12.体积V＝2×2×1＋×2×2×1＝.15．解答在直观图中，过A′点作A′E⊥B′C′，垂足为E，则在Rt△A′B′E中，A′B′＝1m，∠A′B′E＝45°，∴B′E＝m.而四边形A′EC′D′为矩形，A′D′＝1m，∴B′C′＝B′E＋EC′＝m.由此可还原图形，如图所示，在原图形中，AD＝1m，AB＝2m，BC＝m，且AD∥BC，AB⊥BC，∴这块菜地的面积为S＝(AD＋BC)·AB＝×1＋1＋×2＝(m2)，所以这块菜地所产生的总的经济效益是300S≈300(2＋0.707)＝812.1≈812(元)．【难点突破】16．解答(1)该几何体的直观图如图(1)所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD 是边长为6的正方形，高为CC1＝6，故所求体积是V＝×62×6＝72.(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图(2)所示.证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是VC1－ABCD＝VC1－ABB1A1＝VC1－AA1D1D，故所拼图形成立．(3)设B1E，BC的延长线交于点G，连接GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连接HB1，如图(2)，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成锐二面角或其补角的平面角.在Rt△ABG中，AG＝，则BH＝＝，B1H＝＝，cos∠B1HB＝＝.故平面AB1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.