人教版数学必修二空间几何体三视图和直观图

空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.2空间几何体的直观图 1.掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图2．会用斜二测画法画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的直观图．3．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)． 基础梳理1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤45°135°水平面x′轴y′轴 保持原长度不变 一半 练习1.直观图中x′轴、y′轴的夹角是__________．练习2.一条线段AB平行x轴，且长度为4，在直观图中对应的线段A′B′长度为______．2．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′.且平行于O′z′的线段长度________．其他同平面图形的画法．45°或135°4保持不变 练习3.一条线段AB垂直x轴，且长度为4，在直观图中对应的线段A′B′长度为______．练习4.用斜二测画法画出如下图所示正方形的直观图．答案：如下图2 思考应用1．如何在原图形中建立坐标系？解析：在一般情况下建立坐标系可以任意建，但为了作图的方便，我们常常按照如下原则建系比较简便．(1)是轴对称图形或中心对称图形的常以对称轴为坐标轴或对称中心为原点建立坐标系．(2)尽量多的使顶点和边在坐标轴上．2．如何理解“斜二测”画法？解析：“斜”是指在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 自测自评1．梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°AC 画水平放置的平面图形的直观图用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图．解析：建立坐标系xOy后，B，E两点不在平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H.(1)建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图(1)中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD.(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图．点评：用斜二测画法画水平放置的平面图形一要注意坐标系的选取，二要注意平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原长度的一半． 跟踪训练1．(多解题)用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．解析：法一：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝OA.连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示． 法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示． 空间几何体的直观图如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 解析：由几何体的三视图知，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，我们可以先画出下部的圆台，再画出上部的圆锥．(1)画轴．如图甲，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．选择椭圆模板中适当椭圆，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度． 点评：利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．(4)成图．连接PA′、PB′、A′A、B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图乙． 跟踪训练2．根据下图所示的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图． 解析：(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的实物草图如图(1)所示．(2)由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物草图如图(2)所示． 将直观图还原为平面图形如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积．解析：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D⊥O′A′于D，则C′D＝h.由题意知C′D(C′B′＋O′A′)＝S， 点评：将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其作法是运用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍． 跟踪训练3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是() 解析：画出其相应平面图易求，故选A.答案：A 1．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，故③、④不正确，从而选A.答案：A 2．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图的正方形的对角线在y′轴上且长度为，故原来图形的对角线在y轴上且长度为2，选A.答案：A 1．画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．2．画图时紧紧把握住一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半．3．注意由直观图求原图形有关问题时，要把平行于y轴的线段长度变为两倍才是原图形的长度. 祝您学业有成