空间几何体的结构及其三视图和直观图2013

内容分析1.立体几何是高中数学的主要内容之一，是高考的必考内容．2．立体几何知识点较多，需加强理解，要注重知识的形成过程，如空间几何体的结构特征、几何体的表面积、体积、三视图、直观图、平面的基本性质、点线面的位置关系、线面的平行与垂直的判定与性质以及面面平行与垂直的判定与性质．3．空间想象能力要求高，由几何体画三视图，由三视图还原几何体，线面位置关系的判定与证明，空间直角坐标系的建立及点的坐标的确定等都需要较强的空间想象能力．4．本章知识结构思路清晰，首先整体、直观把握几何体的结构特点，再按照点⇒线⇒面的位置关系的判定过程和面⇒线⇒点的性质过程进行两次转化与化归．5．运算能力要求高，体现在复杂几何体的表面积和体积的计算上． 命题热点1.立体几何在新课标中分必修和选修两部分，通过空间几何体的学习，主要是培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力．2．纵观近几年高考试题可知，高考命题形式比较稳定，主要考查形式有：(1)以几何体为依托考查空间异面直线的判断，考查两条异面直线所成的角，很可能将角与平行、垂直合到同一道试题中．(2)直线与平面的平行与垂直的判定、空间角的计算作为考查的重点，尤其以多面体为载体的线面位置关系的论证，更是年年考，并在难度上也始终以中等题为主．(3)判断并证明两个平面的垂直关系，通常是在几何体中出现．(4)考查两个平面垂直的性质定理，常常是利用它求解体积、线面角、二面角或其他综合问题，也多是以棱柱、棱锥为背景，特别是正方体、长方体、正四棱柱、正三棱锥为依托的角、体积等问题. 第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．会画某些建筑物的三视图与直观图．(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求) 1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都上下底面是的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形．(3)棱台可由的平面截棱锥得到，其上下底面是多边形．平行且相等，全等公共点平行于底面相似 2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕或等腰梯形绕旋转得到，也可由的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕旋转得到．其任一边其直角边直角腰上下底中点连线平行于底面直径 3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是的，三视图包括正投影完全相同正视图、侧视图、俯视图． 答案：D 2．如下图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④ 解析：∵正方体的正视、侧视、俯视图都为正方形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯形、梯形、三角形；正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形．答案：D 3．如下图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是()答案：B 5．已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的表面积是() 解析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的下底面与圆柱的上底面重合． 答案：C 1．几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．热点之一空间几何体的结构特征 (2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体．2．理解并掌握空间几何体的结构特征，对培养空间想象能力，进一步研究几何体中的线面位置关系或数量关系非常重要，每种几何体的定义都是非常严谨的，注意对比记忆． [例1]下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点 [课堂记录]棱柱的结构特征有三个方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形所在面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．由此可知A、B均不正确．各面都是三角形的几何体并不一定是棱锥，如正八面体，故C不正确．棱台是由平行于棱锥底面的平面截去一部分得到的，故可知棱台各侧棱的延长线交于一点．[答案]D [思维拓展]解决这类问题需准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，高考中往往综合几种几何体同时进行考查，必须多角度、全面地去分析，需要有较强的空间想象能力．当需要否定一个命题时，举一个反例即可．作为选择题，也可用排除法． 即时训练下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：A错误．如右图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥． C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D 热点之二空间几何体的三视图1．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．2．由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则． 注意：严格按排列规则放置三视图．并且用虚线标出长宽高的关系．有利于准确把握几何体的结构特征．3．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时，首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出其三视图． [思路探究](1)利用体积与几何体的高先计算出底面积再进行判断；(2)排除法．解法二：选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排除B、D；易知选项C符合．[答案]C 解析：结合长方体的对角线在三个面中的投影来理解计算．如下图所示，设长方体的长宽高分别为a，b，c，由题意得 答案：A 2．对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．热点之三空间几何体的直观图 [例3]一个水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图是如右图所示的边长为1的正△A′B′C′，则在真实图形中AB边上的高是________，△ABC的面积是________，直观图与真实图的面积之比为________． [课堂记录]将△A′B′C′放入一个锐角为45°的斜角坐标系x′O′y′中，如下图(1)所示，将其按照斜二测画法的规则还原为真实图形，如下图(2)所示，在真实图形中，OA＝O′A′，AB＝A′B′，OC＝2O′C′，在 即时训练如下图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形 OA＝O′A′＝6cm＝OC，故原图形为菱形．答案：C 1．考查柱、锥、台、球体及简单组合体的结构特征，多以选择题或填空题的形式出现，一般难度较低．2．三视图及直观图的画法是本节的重点，也是高考的热点，一般在选择题或填空题中考查．主要考查方式有：①给出空间图形选择其三视图；②给出三视图判断其空间图形的形状． [例4](2010·福建高考)如右图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台 [解析]∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，∴EH∥B1C1，∴EH∥平面BCGF.∵FG⊂平面BCGF，∴EH∥FG，故A对．∵B1C1⊥平面A1B1BA，EF⊂平面A1B1BA，∴B1C1⊥EF. 则EH⊥EF.由上面的分析知，四边形EFGH为平行四边形，故它也是矩形，故B对．由EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C对，选D.[答案]D 1．(2010·北京高考)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为() 解析：由几何体的正视图、侧视图，结合题意，可知选C.答案：C 2．(2010·辽宁高考)如下图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________． 谢谢观赏谢谢观赏