2017-2018学年高中数学考点26空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表

考点26空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.（2016・全国卷I高考文科・T7）同（2016・全国卷I高考理科・T6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径•若该儿何体的体积是挈，则它的表而积是（）A・17jiB.18hC・20jiD.28h【解析】选A.该几何体是一个球体挖掉2剩余的部分，如图所示,依题意得？X-71R3=—,解得R二2,833所以该儿何体的表面积为4hX22xI+1jiX22=17h.832.（2016・全国卷II文科・T7）同（2016•全国卷II理科・T6）如图是由圆柱与圆锥组合而成的儿何体的三视图，则该儿何体的表而积为（）A.20兀B.24JiC.28兀D.32兀【解题指南】观察三视图，确定圆柱和圆锥的底面半径和高，再利用表面积是各个面的和进行计算.【解析】选C.几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r,周长为C,圆锥母 线长为圆柱高为h.由图得r=2,c=2nr=4n,h二4,由勾股定理得：1.（2016・全国卷II文科・T4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）32A.12JiB.—nC.8nD.4n3【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.【解析】选A.因为正方体的体积为&所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2亦，所以正方体的外接球的半径为舲，所以球的表面积为4h・（亦严二12—2.（2016・全国卷III・文科・T10）与（2016•全国卷3・理科・T9）相同如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18+36V5B.54+18V5C.90D.81【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键.【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱，上下底面为边长为3的正方形，左右为底边长为3,侧棱为3V5的矩形，前后为底边为3,侧棱为3V5的平行四边形,且底边上的高为6,所以S二9+9+18+18+9騎+9騎二54+18躬.3.（2016・全国卷III・文科・T11）与（2016・全国卷3・理科・T10）相同在封闭的直三棱柱ABC-AiBiCi内有一个体积为V的球.若AB丄BC,AB=6,BC=8,AA.=3,则V的最大值是（）A.4jiB.——C.6nD.——23【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时，球己不在直三棱柱内.【解析】选B.当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB丄BC,AB二6,BO&所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径一6+「°二2,直径为4＞侧棱.所以球的最大直径为3,半径为弓，此时体积W竺. 1.（2016・山东高考文科・T5）同（2016・山东高考理科・T5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（） 1/\/\1/\/\k—1—1r—1—n正（主）视图侧（左）视图A.-+-n33C.—+—兀361俯视图b4+t"D.1+—Ji6【解题指南】充分利用三视图各测度的数值，还原几何体本身各测度的数值，进而求其体积.【解析】选C.由三视图可知，半球的半径为芈，四棱锥底面正方形边长为1,高为1,所以该组合体的体积二丄兀・[―1xl+lxixixi=l+^l兀.322336\丿1.（2016・天津高考文科・T3）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的儿何体的正视图与俯视图如图所示，则该儿何体的侧视图为（）正视图俯视图【解题指南】利用正视图和俯视图进行判断.【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.&（2016・北京高考理科・T6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）俯视图 A6C・§D.l【解题指南】三棱锥的体积为【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥，则通过侧视图得高h",底面积S二一XIX1=—,所以体积V=—Sh二一.二、填空题9.(2016・浙江高考理科・T11)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的表面积是cm［体积是cm".【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】儿何体为两个相同长方体组合而成，长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2X(2X2X4)二32(cm'),由于两个氏方体重叠部分为一个边氏为2的正方形，所以表面积为2(2X2X2+2X4X4)-2X2X2=72(cm2).答案：723210.(2016・浙江高考理科・T14)如图，在AABC中，AB二BC二2,ZABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.【解题指南】利用三棱锥的体积公式表示出体积，再利用不等式求最值.【解析】结合图形利用不等式的放缩进行求值，注意基本不等式的适用条件.ABC中,AB=BC=2,ZABC=120°,所以AC二(2,+2?—2x2x2x=2^3,设CD二x,则AD=2a/3-x, 所以PD二2庞-x,所以VP-BCD=—SziBCD*hW丄X-BC・CDsin30°・PD332=-X2xX1X(2V3-X)62二丄x(2炉x)W屮+2心x[66212当且仅当x=2^3-x,即x二氐时取“二”,此时PD二般，BD二1,PB=2,满足题意.答案：;29.（2016・浙江高考文科・T9）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面枳是ci『，体积是cml卜2・•2*12正视图侧视图俯视图【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，S左二6X2?+2X42+4X2X4-2X22=80（cm2）,V=23+4X4X2=40（cm3）.答案：804010.（2016・四川高考理科・T13）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是•I1H_V3—V3—H正视图【解题指南】先根据正视图和已知条件判断几何体的形状，代入公式即可得出几何体的体积.【解析】由题可知，因为三棱锥每个而都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如下俯视图，II三棱锥高为h二1, 则体积叫S叫X答案：耳39.（2016・四川高考文科・T12）己知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是•T11TII~【解题指南】根据俯视图求岀底面积，根据侧视图求出高，从而得出几何体的体积.【解析】由三视图可知该儿何体是一个三棱锥，且底面积为S二丄X2丽XI二舲，高为21,所以该几何体的体积V=lsh=lXV3X1季.333答案:£10.（2016・天津高考理科・T11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m）,则该四棱锥的体积为m3.正视图1*1*1侧视图俯视图【解题指南】由儿何体的三视图判断原儿何体的构成，再求解.【解析】底面为平行四边形，面积为2X1=2,高为3,所以V二2X1X3X*二2.O答案：211.（2016•北京高考文科・T11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 正(主)视图1IT侧(左)视图俯视图【解题指南】四棱柱的体积为底面积乘以高.13【解析】由俯视图可知底而而积为一X(1+2)XI二由侧(左)视图可知高为1,所以体积为22343—X］二一.22答案2三、解答题9.(2016・浙江高考理科・T17)如图，在三棱台ABC-DEF中，平而BCFE丄平面ABC,ZACB二90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证：BF丄平面ACFD.(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【解析】(1)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示，因为平面BCFE丄平面ABC,且AC丄BC,所以AC丄平面BCK,所以BF丄AC,又因为EF〃BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以ABCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF丄CK,所以BF丄平面ACFD.(2)过点F作FQ丄AK,连接BQ. 因为BF丄平面ACK,所以BF丄AK,则AK丄平面BQF,所以BQ丄AK.所以，ZBQF是二面角B-AD-F的平面角.在RtAACK屮，AC二3,CK二2,得FQ二痙L13 在RtABQF中，FQ=B^,BF二屈，得cosZBQF=—.134所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为49.(2016・江苏高考T17)(本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-ADCD,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A.B.C.D,(如图所示)，并要求正四棱柱的高00】是正四棱锥的高PO：的4倍.(1)若AB=6m,P0F2m,则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当P0.为多少时，仓库的容积最大？15C,C【解题指南】根据正四棱锥和正四棱柱的体积公式以及导数求解.【解析】⑴由P0i=2m=>00i=8m,则盯£二附片x^=ix62x2=24(//73),Vabcd—arcm=$磁〃*00\=62x8=288⑷)，y=Vp.A1,clD1^-A.B.c.0.==312亿故仓库的容积为312m3.(2)设P0i=xm,仓库的容积为V(x),连接AiOi,则001=4x01,A101=\36—ni,A】Bi=•\36—m,仏-1疋_sQMCEXPO、1-X=(288x-8x3)m3.V(x)=Vp计他+Vabcd井cp二24x--x3m3+(288x-8x3)m3J丿=|—x3+312xm3(0