第十三章 第1讲 空间几何体的三视图和直观图

第十三章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图 考纲要求考纲研读1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，紧扣定义是正确识别几何体形状的关键．2．画给定的几何体的三视图时，由于放置的姿势不同，所得的三视图可能会有所不同；同时要能识别三视图所表示的立体模型．3．会用斜二测画法画出空间图形的直观图；并能根据几何体的三视图或直观图确定该几何体的结构特征. 1．多面体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且其余每相邻两个面的交线都互相平行．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分． 2．旋转体的几何特征(1)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．(3)圆台：类似于棱台，圆台可看作是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．类似于圆锥的形成过程，圆台还可以看作是一直角梯形绕垂直于底的腰所在的直线旋转，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体．(4)球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体． 3．用斜二测画法画水平放置的平面图形(1)步骤：画轴、取点、成图．(2)图形中平行于x轴的线段，在直观图中仍平行于x′轴且长度保持不变，平行于y轴的线段，在直观图中仍平行于y′轴且长度变为原来的一半，与坐标轴不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决．(3)画空间图形的直观图时，只需增加一个竖直的z′轴，图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度保持不变． 4．三视图的定义(1)俯视图：一个投影面水平放置，叫做水平射影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图．(2)主视图：一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)．(3)左视图：和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放置在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做侧视图(左视图)．5．三视图的排列规则长对正、高平齐、宽相等． 1．如图13－1－1，这是一幅电热水壶的主视图，则它的俯视图是()D图13－1－1 2．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图13－1－2所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()B图13－1－2A．南B．北C．西D．下 3．下面说法正确的是()DA．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B．两条相交直线的直观图可能是平行直线C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 4．如图13－1－3，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是()图13－1－3B 5．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是()A 考点1空间几何体的结构特征例1：①如图13－1－4，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为() 图13－1－4A．模块①、②、⑤C．模块②、④、⑥B．模块①、③、⑤D．模块③、④、⑤解析：本小题主要考查空间想象能力．先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其他两块．答案：A ②在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何形体是__________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图D22，AA1C1C为矩形；三棱锥B1－A1BC1就是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；三棱锥D－A1BC1就是每个面都是等边三角形的四面体；三棱锥A1－ABC就是每个面都是直角三角形的四面体．答案：①③④⑤图D22 【互动探究】1．(2011年广东)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()DA．20条B．15条C．12条D．10条解析：正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5×2＝10(条)． 考点2几何体的三视图例2：(2010年广东)如图13－1－5，△ABC为三角形，AA′则多面体△ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是()图13－1－5答案：D 画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的为虚线． 【互动探究】2．(2011年江西)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图13－1－6所示，则该几何体的左视图为()D图13－1－6解析：左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案． 3．(2011年山东)如图13－1－7是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图13－1－7；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图13－1－7；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图1－2.其中真命题的)A个数是(A．3C．1B．2D．0解析：可以是放倒的三棱柱，所以①正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．图13－1－7 考点3几何体的直观图例3：对一个三角形采用斜二测画法作其直观图时，其直观图的面积是原三角形面积的________倍()答案：A倍，所以直观解析：以原三角形一边所在直线为x轴，以该边上的高为所在直线y轴，建立平面直角坐标系．采用斜二测画法作其直观图时，底不变，第三个顶点在y′轴上，长度为原高的一半，但它还不是高(夹角为45°)，所以新三角形的高是原高的图的面积是原三角形面积的倍． 用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置；将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则．D45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）【互动探究】4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 易错、易混、易漏20．将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误例3：一个正三棱柱的三视图如图13－1－8，求这个三棱柱的表面积和体积．图13－1－8图13－1－9 1．要明确柱体、锥体、台体和球的定义，定义是处理问题的关键；认识和把握空间几何体的结构特征是认识几何体的基础．2．旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要清楚圆柱、圆锥、圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质． 4．圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成直角三角形．圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2＝h2＋R2.5．圆台的母线l、高h和上、下底面圆的半径r、R组成直角梯形．圆台的计算一般归结为解这个直角梯形，特别是关系式l2＝h2＋(R-r)2. 6．球的截面性质：球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；球心和截面圆心的连线垂直于截面；r＝(其中r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O到截面圆的距离，即O到截面圆心O1的距离)．正确理解锥体和台体的关系，台体是由平行于锥体底面的平面所截得的，“还台为锥”是处理棱台和圆台的最有效手段．