高中数学复习空间几何体积的三视图和直观图人教版必修

立体几何1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图． 3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．5．理解空间直线、平面位置关系的定义，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．6．能运用公理、定理和已获得的结论证明和空间图形位置关系有关的简单命题．7．了解空间向量的概念，基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及坐标运算．会用向量方法解决平行、垂直、夹角及距离计算问题，理解向量方法在研究几何问题中的作用． 1．考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力．2．结合三视图和多面体的面积、体积考查线面的平行和垂直；要求深刻理解概念和定理，掌握对符号语言、图形语言与文字语言之间的转化能力．3．立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想，即化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算． 第1讲空间几何体的三视图和直观图1．斜二测画法的画图规则(1)在已知图形所在的空间中取水平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时，把Ox、Oy、Oz，画成对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝___，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平面．45° (3)已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中______________，平行于y轴的线段，长度为原来的_____．如图13－1－1所示是某正方体的直观图．图13－1－1保持长度不变一半 2．三视图的定义(1)俯视图：一个投影面________叫做___________，投影到这个平面内的图形叫做俯视图．(2)正视图：一个投影面放置在_______，这个投影面叫做__________，投影到这个平面内的图形叫做正视图．(3)侧视图：和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做___________，通常把这个平面放置在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做侧视图．3．三视图的排列规则“__对正、__平齐、__相等”．水平放置水平射影面正前方直立投影面侧立投影面长高宽 1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正A1B1C1，则△ABC是()CA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形 2．如图13－1－2，纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”)的面的方位是(A．南C．西B．北D．下B图13－1－2 3．下面说法正确的是()A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B．两条相交直线的直观图可能是平行直线C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D．平行四边形的直观图仍是平行四边形4．对于一个几何体的三视图要求正视图和左视图一样__，正视图和俯视图一样__，俯视图和左视图一样__．D高长宽 5．如图13－1－3，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．图13－1－3①②③ 考点1斜二测法作图例1：画出水平放置的正五边形图13－1－8(1)的直观图．(1)(2)图13－1－8解题思路：按斜二测法的画图规则来作图． 【互动探究】1．已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．图12－1－9 考点2画简单组合体的三视图例2：在图13－1－10所示的等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，连接AB、CD，所得几何体的直观图如图13－1－11.(1)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；(2)画出该几何体的俯视图．图13－1－10图13－1－11 解析：(1)∵AF＝BF，∠AFB＝60°，△AFB为等边三角形．又G为FB的中点，∴AG⊥FB.在等腰梯形ABCD中，∵E、F分别是CD、AB的中点，∴EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，∴AG⊥EF.又EF与FB交于一点F，∴AG⊥平面BCEF.(2)该几何体的俯视图如图13－1－12.图13－1－12(1)折叠问题中，抓住位于同一半平面内的图形相对的位置关系和度量关系均不变．(2)三视图的排列规则：“长对正、高平齐、宽相等”． 【互动探究】2．将正三棱柱截去三个角(如图13－1－13(1)所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图13－1－13(2)，则该几何体按图13－1－13(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为()图13－1－13A 解析：依题意知侧视图是一个直角梯形，比较A、C知A正确． 图13－1－14图13－1－15错源：利用三视图还原空间几何体时常错判长宽高例3：一个正三棱柱的三视图如图13－1－14，求这个三棱柱的表面积和体积． 【互动探究】3．如图13－1－16，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为()图13－1－16A3A.π2B．2πC．3πD．4π 例4：(2011年辽宁4月模拟)如图13－1－17，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．图13－1－17 解题思路：首先要还原物体的直观图，并找出相应的长宽高，然后求出最长棱长．方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱解析：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正 A．①②C．③④B．②③D．①④B【互动探究】4．(2010年执信、深外、纪中联考)一个简单几何体的正视图、侧视图如图13－1－18，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是()图13－1－18 1．本节内容主要考查空间想象能力、运用图形语言的能力以及几何直观能力．2．理解空间几何体的基本结构特征，能识图，会画图．3．能根据三视图还原出立体图的轮廓，尤其是侧视图和俯视图的宽相等．4．主要的思想方法是将空间几何体问题转化为平面几何问题，注意数形结合．