第一节　空间几何体的结构及其三视图和直观图

第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图【最新考纲】 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线15/15 3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(  )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(  )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(  )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(  )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×15/15 2．如图，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是(  )A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体解析：由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．答案：C3．(2016·邯郸调研)一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(  )15/15 解析：由于组合体的上部分(五面体)与下部分(长方体)有相同的底面，则几何体在下底面的投影为图形B.答案：B4．(2015·课标全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  )A.B.C.D.解析：如图所示，由条件知，截去部分是正三棱锥DABC.设正方体的棱长为a，则VDABC＝，因此剩余部分的体积V剩＝a3，故它们的体积之比为.15/15 答案：D5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．解析：由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1.所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.答案：2π一种思想棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想．两点注意1．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．2．画直观图注意平行性、长度两个要素．(1)平行性不变；(2)平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴、z轴的线段长度不变．三条规则——画三视图应遵循的三条规则1．画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”．2．摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．3．实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出．A级 基础巩固一、选择题15/15 1．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(  )A．圆柱   B．圆锥   C．四面体   D．三棱柱解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．答案：A2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(  )解析：注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C.答案：C3．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(  )A.B．1C.D.15/15 解析：由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为，宽为1的矩形，其面积为.答案：D4．(2014·北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则(  )A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1解析：如右图所示。根据题目条件，在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC，显然S1＝S△ABC＝×2×2＝2，S2＝S3＝×2×＝.答案：D5．(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )15/15 A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π解析：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，半圆柱的体积V2＝·π·12×2＝π，∴V＝＋π.答案：A二、填空题6．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是________．(填上所有正确的序号)15/15 图甲图乙解析：若图(2)是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图(2)不合要求；若图(4)是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图(4)不合要求．显然图(1)，(3)可作为几何体的俯视图．答案：(1)(3)7．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．15/15 解析：三棱锥PABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：18．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．解析：如图所示：因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.答案：9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．15/15 解析：由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC.故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△PAC中，PC＝＝＝2.答案：2三、解答题10．(2014·辽宁卷改编)某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体的直观图．15/15 解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后的几何体．(2)直观图如图所示．B级 能力提升1．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，若用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(  )15/15 解析：设过点A，E，C1的截面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，该正方体截去上半部分后，剩余几何体如图所示．因此，其侧视图为选项C.答案：C2．(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是________．15/15 解析：根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则S表面积＝2××2×1＋2××()2＝2＋.答案：2＋3．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体．(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．15/15 解：(1)由正视图和俯视图知该几何体是一个正六棱锥．(2)几何体的侧视图如图所示．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a.AD是正六棱锥的高，则AD＝a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝·a·a＝a2.15/15