高考数学直线、平面、简单几何体和空间向量第53讲空间几何体的结构三视图和直观图练习理新人教A版

第九章 直线、平面、简单几何体和空间向量 【p120】理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明之：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相平行．垂直于同一个平面的两条直线平行． 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． 第53讲 空间几何体的结构，三视图和直观图夯实基础 【p121】【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥等简单几何体的性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图．【基础检测】1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为(  )                   A．0B．1C．2D．3【解析】①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，题中的命题错误；②以直角梯形的直角边所在的腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台，题中的命题错误；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，题中的命题正确；④一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，题中的命题错误．综上可得：正确命题的个数为1.【答案】B2．下列命题中正确的个数是(  )①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥． A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，所以选A.【答案】A3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则图中阴影部分BC1M在平面BCC1B1上的正投影是(  )【解析】由题意知，点M在平面BCC1B1上的正投影是CC1的中点，点B和点C的投影是本身，连接三个投影点．【答案】D4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(  )A．3B．2C．2D．2【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥A－BCC1B1， 从图中易得最长的棱为AC1＝＝＝2.【答案】B5．如图，正方形O′A′B′C′的边长为acm，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是____cm.【解析】由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与x轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，因为O′A′＝a，所以原图形中OA＝O′A′＝a，对角线O′B′＝a，则原图形中OB＝2O′B′＝2a，且△OBC为直角三角形，则OC＝＝3a，则原图形的周长是2(3a＋a)＝8a.【答案】8a【知识要点】1．空间几何体的结构特征多面体棱柱棱柱的侧棱都相互__平行__且__相等__，上下底面是__全等的__且__相互平行__的多边形.棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个__公共顶点__的三角形.棱台棱台可由一个__平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到，其上下底面是__相互平行__且相似的多边形.旋转体圆柱圆柱可由__矩形__绕其任意一边旋转得到. 圆锥圆锥可以由__直角三角形__绕其一条直角边旋转得到.圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下边的中点连线旋转得到，也可由__平行于__圆锥底面的平面截圆锥得到.球球可以由半圆或圆绕其__直径__旋转得到.2.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括__正视图__、__侧视图__、__俯视图__．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度__不变__，平行于y轴的线段，长度变为__原来的一半__．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于平面xOy，在直观图中对应的z′轴，也垂直于平面x′O′y′，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度__不变__．典例剖析 【p122】考点1 空间几何体的结构特征(1)给定下列四个命题：①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体；②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲面围成的几何体；③圆锥是角AOB绕其角平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体；④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圆锥．其中正确的命题为__________．(只填正确命题的序号)【解析】正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体为两个圆锥，①错误；圆锥是由直角三角形绕其一条直角边旋转所形成曲面围成的几何体，②③错误；④正确；故答案为④.【答案】④ (2)给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．【解析】①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A－CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．【答案】①(3)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．【解析】因为在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图所示)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体体对角线的中点．球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P－ABC在面ABC上的高．已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P－ABC在面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为－＝.【答案】【点评】熟记柱、锥、台、球的简单几何性质，以便在以柱、锥、台、球为载体的综合问题中灵活准确地应用其性质进行推理与计算．考点2 空间几何体的三视图(1)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形， 起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤【解析】正视图为①，侧视图为②，俯视图为③.【答案】B(2)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形，其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是(  )A．5B．4C．3D．2【解析】①②③⑤均可能．【答案】B(3)在正方体中，M，N，P分别为棱DD1，D1A1，A1B1的中点(如图)，用过点M，N，P的平面截去该正方体的顶点C1所在的部分，则剩余几何体的正视图为(  )【解析】过点M，N，P的平面截去该正方体的顶点C1所在的部分，直观图如图： 则该几何体的正视图为B.【答案】B(4)已知四棱锥S－ABCD的三视图如图所示，则围成四棱锥S－ABCD的五个面中的最大面积是(  )A．3B．6C．8D．10【解析】由三视图可知，空间结构体如图所示．S△PAB＝×3×2＝3，S△PAD＝×4×＝2，S△PCD＝×3×2＝3，S△PBC＝×4×2＝6，SABCD＝4×2＝8，所以底面的面积最大为SABCD＝4×2＝8.【答案】C【点评】观察利用三视图时，一定要准确把握“长对正，高平齐，宽相等”的原理． 考点3 空间几何体的直观图(1)利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．【解析】由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．【答案】①(2)已知正△ABC的边长为a，那么它的平面直观图△A′B′C′的面积为__________．【解析】如图所示是实际图形和直观图，由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，则C′D′＝O′C′＝a.∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝×a×a＝a2.【答案】a2(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(  )【解析】A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D. 【答案】D方法总结  【p123】1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”2．有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝S.(2)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．3．有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则．4．特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体．(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱．走进高考  【p123】1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(  )A．2B．2C．3D．2 【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.【答案】B2．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木结构右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.【答案】A3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为(  )A．90πB．63πC．42πD．36π【解析】法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－×π×32×6＝63π.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝ π×32×7＝63π.【答案】B考点集训  【p240】A组题1．下列命题正确的是(  )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【解析】棱柱的定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．棱台必须是用平行于底面的平面去截棱锥才能得到棱台，所以选项C错，选项D正确．【答案】D2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点(如图)用过点B，E，D1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(  )【解析】由题意可知：过点B、E、D1的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D.【答案】D3．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(  )A．1B．2C．3D．4 【解析】满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形．【答案】D4．若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积与原来三角形面积的比值是(  )A.B.C.D．2【解析】以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三角形的高变为原来的sin45°＝，故直观图中三角形面积与原三角形面积的比值是.【答案】A5．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(  )【解析】选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．【答案】C6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上， 好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(  )【答案】B7．已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．【解析】①是正四棱锥与正四棱柱组合；②是正四棱锥与圆柱组合；③是圆锥与圆柱组合；④是圆锥与正四棱柱组合．【答案】①②③④8．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接出一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是________．【解析】根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情况：(1)当底面边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图①此时a取最大值，可知AD＝，SD＝，由于SD