考点梳理多思勤笔夯实虽础§8」空间儿何体的结构.三视图和直观图考纲解读-j权威解读科学预测••••••••••••••••••••••••1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体.球、圆柱.圆锥.棱柱等的简易组介)的三视图.能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.高考主要考查空间儿何体的结构和视图，柱、锥.台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图般会在选择题、填空题中考查，以给出空间图形选择英三视图或给出二视图判断其空间图形的形式出现，考杳空间想彖能力.棱柱、•棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相,其余各面綁是,并且每相邻两个四边形的公共边都互相,由这些面所围成的多而体叫做棱柱.※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱・侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(2)棱锥：有一个面是,其余各1川都是有一个公共顶点的,由这些面所圉成的多面体叫做棱锥.※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥.⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截而Z间的部分，叫做棱台.※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.探2•棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是:两个底面与平行于底面的截血是的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是:直棱柱的侧棱长与高相等且侧仏对角而都是■(2)正棱锥的性质侧棱相等•侧面是全等的:棱锥的髙、斜髙和斜高在底而上的射影构成-个;棱锥的爲、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个;侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个:侧棱在底面上的射彩、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个■(3)正棱台的性质侧面是全等的；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个;棱台的高「侧棱和两底面外接圆的半径组成一个;棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个.3.圆柱.圆锥.圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以的一边、的一直角边、中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆Zx(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱.圆锥、圆台的轴截面分别是、、:平行于底面的截面都是・4•球(1)球而与球的概念以半圆的所在直线为旋转轴，半圆而旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的・(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为・5.平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做・平行投彩的投彩线互相.6.空间几何体的三视图、直观图(1)三视图①空间儿何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的.三视图包括.、②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等•"长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等.(2)直观图空间儿何体的直观图常用斜二测画法来画，英规则是：①在已知图形所在空间中取水平而，在水平而内作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴，使厶0z=HZyOz=②画直观图时，把Ox,Oy,Oz画成对应的轴0妙oy,o*使Zxfoy=,Zxfofzf=.xfoy所确定的平面表示水平面.③已知图形中，平行于兀轴、y轴或Z轴的线段，在直观图中分別画成V轴、V轴或曲I的线段，并使它们和所個坐标轴的位置关系与已対图形屮相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于X轴和Z轴的线段，在直观图屮保持长度不变，平行于y轴的线段.长度为原来的・⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察儿何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；⑵投影效果：三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形・【自查自纠】1.(1)平行四边形平行(2)多边形三角形2.(1)平行四边形全等平行四边形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形玄角三角形(3)等腰梯形直角梯形宜角梯形宜角梯形3-(1)矩形直角三角形直和梯形(2)矩形等酸三角形等腰梯形圆4.⑴直径球心(2)垂直丁-d=yjR2~r25.平行投影平行6•(1)①正(主)视图侧(左)视图俯视图(2)®90°90°②45。(或135°)90°③平行于④一半基础自测小易仝•活牛刀小试ni下列说法屮正确的是()A.棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥的底面一定是三角形C•棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D.棱柱被平而分成的两部分可以都是棱柱解：根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故选D.以卜•关于儿何体的三视图的论述中，止确的是(A•球的三视图总是三个全等的圆B.正方体的三视图总是三个全等的正方形C.水平放直的正四面体的三视图都是正三角形
B.水平放置的闘台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆.故选A.
（2012-陕西）将正方体（如图a所示）彼去两个三棱锥,得到图b所示的儿何体，则该儿何体的侧视图为（）类型一空间几何体的结构特征类型二空间几何体的三视图解：还原正方体知该儿何体侧视图为正方形，AD】为实线,QC的正投影为且QC被遮扌当为虚线.故选B.用一张4cmx8cm的矩形便纸卷成恻柱的侧面，则恻柱轴截而的而积为cn?（接头忽略不计）.解：以4cm或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为乎曲故填乎.己知正三角形ABC的边长为°,那么AABC的平面直解：如图所示是实际图形和直观图.CD丄AE,垂足为D\-8a.S&，BC=*A®xCD=爭a=%2故填吾A典例解析j则CD'=（2012•湖南）某儿何体的正视图和侧视图均如图I)图11^^如图，某儿何体的正视图（主视图）是平行四边形,侧视图（左视图）和俯视图都是炉形•则该儿何体的体积为（）3D解：D选项的正视图应为如图所示的图形.故选D.-1—【评析】本题主要考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型.本题可用排除法一一验证：A,B,C都有可能，而D的正视图与侧视图不可能相同.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）解：从俯视图看，B、D符合，从正视图看，B不符合，D符合，而从侧视图看D也是符合的.故选D.侧视图..俯视图.A.6^3C.12萌解：由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h=y]22-\=心底面积为9,所以体积V=9裁二亦•故选B.B.9^3D・18羽【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生.对于空间几何体的考查，从内容上看，柱.锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积是重点.本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对正、髙平齐，宽相等二不难将其还原得到斜四棱柱.如图所示的三个直角三角形是一个体枳为20cm?的儿何体的三视图.则力=cm.
峻视图解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm,6cm,三棱锥的高为力cm,则三棱锥的体积为V=*x*x5x6"=20,解得h=4cm.故填4.类型三空间多面体的直观图止视图侧视图俯视图解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥.画法：(1)画轴.如图1,画x轴.y轴、z轴，使Z-xOy=45%ZxOz=90°.类型四空间旋转体的直观图图1(2)画底面.利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取O,使00等于三视图中相应高度，过O作Ox的平行线ON,Oy的平彳亍线oy,利用O乂与O#画出底面A'B'CD'.(3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使P0,等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接丹V,PBSPCSPDAAS,BBCC、DD整理得到三视图表示的儿何体的直观图如图2所示.用一个平行于岡锥底面的平面截这个闘锥，截得圆台上、下底而的而枳Z比为1:16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长.s1+3Ad-47-A,P图2【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高,再按照斜二测画法，建立x轴、y轴、z轴，使厶・Oy=45。，ZxOz=90。，确定几何体在x轴.y轴、乙轴方向上的*:度，最后连解：複圆台的母莪长为/,截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.根据相似三角形的性质得，3r77厂石，解得i=9.所以，圆台的母线长为9cm.【评析】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相伴比，设相关几何变量列方程求解.圆锥底而半径为1cm,高为迈内接正方体.求这个内接正方体的棱长.cm,其中有一个线画出直观图.已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的逍观图是一个边长为1的」E方形.则此四棱锥的体积为()A.y[2B.6迈C.|D.2迈解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为迈、根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1,高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即2迈，则原图底面积为S=2^i因此该四棱锥的体积为V==*2血3=2迄.故选D.解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截而，得圆锥的轴截SEF,正方体对角面C£)£)]C]如图所示.设正方体棱长为x,贝']CCj=x,0丄EF于0,则S0=迈，0E=1.•••△ECC]S&S0,1芈.CCi_EC】••SO=E0y解得x=芈(cm).故内接正方体的棱长为芈cm.
1.)A.B.C.D.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是解：观察图形，易知图2所示几何体的侧视图为直角梯形,且EB为直角梯形的对角线.故选A・的辽观图可以是（A.棱柱B.棱台C.I员1柱D.圆台则这个多面体最长的一条棱的长为C.2^3D.y/3此多面体是四棱锥，底面是边长为2名睡点津I掲示规律总结方法'研克圆社、園锥：園台的和芙间题时，宝要方法就是研究它们的轴截而，这是凶为在轴截而屮容易找到这些儿何体的有关元素Z间的位置关系以及数量关系.2.正多面体（1）正四而体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是山两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成.的正方体ABC6401CQ冲,连接BCi，A|C[,DC\,DApDB,可以得到一个棱长为迈a的正四面体ArBDC},其体积为正方体体积的£（3）正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切丁•正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体•它们的相应轴截面如图所示（止方体的棱长为⑴球的半径为R）・2R=j2aJ2a—2R=j3a•••••••••••3.长方体的外接球（1）长、宽、高分别为a,b,c的长方休的休对角线长等于外接球的玄径，W^r+/r+r=2/?.（2）棱长为“的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即书ci=2R.4.棱长为4的正四面体⑴斜高为（2）高为誓a；（3）对棱中点连线长为半°；⑷外接球的半径评a,内切球的半径为鲁a；（5）止四而体的表而积为収彳,体积为兽/5.三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分別是从儿何体的正前方、正左方、正上方观察几何体训出的轮廓线，对丁•能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线衣示.6.一个平血图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变二三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变（减半），图形改变.三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变.按照斜二测画法得到的平面图形的肓观图，其面积与原图形的而积有以下关系：S肖观图飯图形,S朝形=2*\/5s查爲补缺抚展迂仲六棱锥六棱台六棱柱非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C・2.下列说法中，正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是犯形，则该棱柱的其它侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都和等D.棱柱的所冇棱K都相等解：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确.故选C.3.将-个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A.一个圆台、两个圆锥B・两个圆台、一个圆柱C・两个圆台、一个圆锥D.—个圆柱、两个圆锥解：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥.故选D.4.将止三棱柱截去三个角（如图1所示A,B,C分别是△GM三边的中点）得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）5-（2013-四川）一个儿何体的三视图如图所示，则该儿何体解：由俯视图可知该几何体的上、下两底面为半径不等的圆，又・••正视图和侧视图相同，•••可判断其为旋转体.故选D.6-如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图，（）解：由三视图可知，的正方形，并且有一条长为2的侧棱垂直于底面，所以最长棱
2迈・故选C.2.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表而积等于・—1—十1—_解：由正视图知，三棱柱是底而边长为2,高为1的正三棱柱，所以底面积为2x*x2x2>
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