高三数学复习《空间几何体的结构及其三视图和直观图》讲义

空间几何体的结构及其三视图和直观图自主梳理1.多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面____平行 ____，侧棱都___平行_____且___长度相等 ______，上底面和下底面是___全等_____的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个__公共顶点____的三角形.(3)棱台可由____平行于棱锥底面 ___的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形___相似_____.①正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．②正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．③正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.④台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其__一边所在直线____旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其_____一条直角边所在直线____旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由___平行于圆锥底面 ____的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕其__直径______旋转得到.3.空间几何体的三视图的概念及画法 空间几何体的三视图是用__正投影________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是_____完全相同___的，三视图包括____正视图____、____侧视图___、___俯视图___.    画空间几何体的三视图的两个步骤第一步，确定三个视图的形状；在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.第二步，将这三个视图摆放在平面上.三视图的安排规则是：正视图与侧视图分别在左右两边，俯视图画在正视图的下方三视图与空间几何体中的几何量的关系空间几何体的数量关系体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”.其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，不要忽视这一点. 4.空间几何体的直观图的概念及斜二测画法画空间几何体的直观图常用_____斜二测___画法，基本步骤是：(1)画几何体的底面①在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝_45°(或135°)_________.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度__保持不变__________，平行于y轴的线段，长度变为__原来的一半______.(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度___不变___.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝S5．中心投影与平行投影我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。中心投影的优缺点 ：它能非常逼真的反映原来的物体，主要应用于绘画领域，也常用来概括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心，投影面和物体的相对位置改变时，直观图的大小和形状亦将改变，因此在另外的一些领域，比如工程制图或技术图样，一般不采用中心投影。我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。（如图）(1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形．基础自测1．如下图几何体中是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2．以下命题：①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；⑤一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑥圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；其中正确的命题序号是__③_⑥__.3.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的__①②③⑤______(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.4．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( D )A．①②B．①③C．①④D．②④在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．5．将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，A，B，C分别是△GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A ) ∵原几何体是正三棱柱，且AE在平面EG中，∴在侧视图中，AE应为竖直的．6.如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是( D )由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝BB′，且△ABC为正三角形，故正视图应为D中的图形．7．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( D ) A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.8．如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( A )A．3B．2C．1D．0底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．9.利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是___①②④_______.(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形. 10．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(  )．A．8－B．8－C．8－2πD.解析 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝22×2－×π×12×2＝8－π，正确选项为A.题型分类剖析题型一 空间几何体的结构特征例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的侧棱延长后交于一点．⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；其中正确命题的序号是________．解析 ①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤.变式训练1（1）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.其中，真命题的编号是_②④_______.（2） 下列结论正确的是(  )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]（3）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是(  )．A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．选B.题型二 空间几何体的三视图例2 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( B )探究提高 根据几何体的直观图，画三视图，要根据三视图的画法规则进行.要严格按以下几点执行：①三视图的安排位置.正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边.②注意实虚线的区别.变式训练2  （1）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( C )（2）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( C )解题导引 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系．C [当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为.]（3）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( D )  由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D.（4）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解 ①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形．答案 ①②③⑤（5）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(  )沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( B )题型三 空间几何体的直观图及斜二测画法例3 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积.解 建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变.已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得＝，所以OC′＝a＝a，所以原三角形ABC的高OC＝a，所以S△ABC＝×a×a＝a2.探究提高 对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝S，能进行相关问题的计算. 变式训练3 （1）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_＋2_______.（2）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(  )A [按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A符合题意．]（3） 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( B )A.a2B．2a2C.a2D.a2根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝··S＝S.可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝＝2a2.题型四 几何体的截面问题例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积.解 如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB＝2，BE＝2×＝，BF＝BE＝，AF＝＝＝，∴△ABE的面积为S＝×BE×AF＝××＝.∴所求的三角形的面积为.探究提高 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托.变式训练4在棱长为6的正四面体内有一个内切球(球与正四面体的四个面都相切)，经过四面体的 一条棱及高作截面如图.求内切球的半径. 解 AB为正四面体的一条棱，所以AB＝6.BD为正四面体的一个面的高，所以BD＝×6＝3，同理AD＝3，又HD＝×BD＝，∴AH＝＝2，又△AOE∽△ADH，∴＝，即＝，∴OE＝，∴内切球的半径为.试题：一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________.审题视角 (1)由三视图还原成直观图，并注意数据的对应.(2)表面积包括哪些部分.正确答案 4(π＋1)解析 这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是2××π×12＋×2π×1×2＋2×2＋4π×2＝4(π＋1).空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题1.给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是(  ) A.0B.1C.2D.32.如图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是( B ) 3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( C )．A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．4．一个棱柱是正四棱柱的条件是(  )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱5．下列说法正确的是(  )．A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点二、填空题6.对于四面体ABCD，下列命题正确的是___①④⑤_____.(写出所有正确命题的编号)①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.7.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_r_______.8．棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R＝________.解析 如图所示，设正四面体ABCD内接于球O，由D点向底面ABC作垂线，垂足为H，连接AH，OA，则可求得AH＝a，DH＝＝，在Rt△AOH中，2＋2＝R2，解得R＝a.三、解答题9．画出下列几何体的三视图．解 图(1)中几何体的三视图如图①、②、③，图(2)中几何体的三视图如图④、⑤、⑥. 10.已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.∵△VA1C1∽△VMN，∴＝，∴x＝.即圆锥内接正方体的棱长为.11.已知正三棱锥V—ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积.解 (1)如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，∴侧视图中VA＝＝2，∴S△VBC＝×2×2＝6.一、选择题1 .已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为(  ) A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④2.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为( C )3.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为.其中正确的是(  )A.①②③④B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②④⑤4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m3.解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋π×3＝6＋π(m3)．答案 6＋π5．已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为(  )A.a2B.a2C.a2D.a2D [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝(a)2，∴S＝a2.]6．有一个正三棱柱，其三视图如图所示：则其体积等于(  ) A．3cm3B．1cm3C.cm3D．4cm3D [由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于正视图和侧视图的高为cm，若设该正三棱柱的底面边长为acm，则有a＝2，所以a＝，故该正三棱柱的体积为V＝··2·＝4(cm3)．]7．如下图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(  )A.B.C.D.C 由三视图知该几何体为一正四棱锥，记为S—ABCD，如图，其中AB＝2，△SCD中CD上的高为2，即SE＝2，设S在底面上的射影为O，在Rt△SOE中，SO＝，∴SO＝＝.∴V＝SABCD×SO＝×4×＝.]8．某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为的线段，则a等于(  )A.B.C．1D．2B [可以把该几何体形象为一长方体AC1，设AC1＝a，则由题意知A1C1＝AB1＝BC1＝，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6.∴a＝.]二、填空题9.如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是__①②③______(填出所有可能的序号).10.如图所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是____②__.(填序号) 11.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为__2______.12．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是一个直角边长分别是5和6的直角三角形，几何体的高为h，则该几何体的体积V＝··5·6·h＝20.∴h＝4.13．已知正三角形ABC的边长为a，则△ABC的水平放置直观图△A′B′C′的面积为________．解析 如图A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A‘B’‘′＝A′B′·C′D′＝a2.三、解答题14．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．解 (1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥．(2)侧视图(如图)其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a，AD是正棱锥的高，AD＝a，所以侧视图的面积为S＝×a×a＝a2.