新人教A版必修2 高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图 导学案

空间几何体的直观图1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）：（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形.答案：略2．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）角的水平放置的直观图一定是角.（√）（2）相等的角在直观图中仍然相等.（×）（3）相等的线段在直观图中仍然相等.（×）（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.（√）3．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形.②平行四边形的直观图是平行四边形.③正方形的直观图是正方形.④菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是（A经典习题例1用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图.【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，对点O与y轴垂直的是x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H.画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′=45°.（2）如图2所示：以点O′为中点，在x′轴上取G′H′=GH，分别过G′、H′，在x′轴的上方，作G′B′∥y′轴，使G′B′=；作H′E′∥y′轴，使H′E′=；在y′轴的点O′上方取O′A′=OA，在点O′下方取O′F′=OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′=CD.（3）连结A′B′、B′C′、D′E′、E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.123 【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点.例2已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm.用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.【解析】（1）画轴.以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.∥＝∥＝（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF=AB=6cm，在y轴上取线段GH，使得GH=AB，再过G、H分别作ABEF，CDEF，且使得CD的中点为H，AB的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.（3）画上底面.在z轴上截取线段OO1=4cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′=45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.（3）再连结AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图2）.【评析】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解.例3如右图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=O′D1=1.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.【解析】如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取OD=O′D1=1， OC=O′C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2，CD=3，直角腰长度为AD=2.所以面积为=5.【评析】给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力.画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的为垂直.