空间几何体的讲义

选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.1空间几何体的结构学习目标：①了解几种空间几何体的结构特征；②重点掌握棱柱、圆柱的结构特征。知识点一：了解多面体的含义及相关概念。由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。分类：按面数分为四面体、五面体、六面体.......思考1：如上图所示的多面体，有几个面、几条棱、几个顶点？思考2：多面体最少有几个面，几个顶点，几条棱？知识点二：棱柱的结构特征1.了解棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。其中：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。2.棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形；③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。思考1：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱吗？思考2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？3.棱柱的分类：①按底面分：当底面是三角形，四边形，五边形时，可以把棱柱分为三棱柱，四棱柱，五棱柱……②按侧棱与底面位置关系：第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础练习：1.下面的几何体中，是棱柱的有___________2.判断下列说法是否正确：（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；（2）一个n(n3)棱柱共有2n个顶点；（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形。3.下列说法正确的是（）A.棱柱的侧面都是矩形B.棱柱的侧棱都相等C.由六个大小一样的正方形组成的图形是正方体的展开图D.棱柱的侧棱总与底面垂直4.下列命题正确的是（）A.有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱B.有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱5.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为___________cm.6.一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。2、过B7.过BC的截面截去长方体的一角，截去的几何体是不是棱柱，余下的几何体是不是棱柱？8.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，由A到C1在长方体表面上的最短距离为多少？AA1B1BCC1D1D第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________知识点三：棱锥的结构特征1.了解棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。其中，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高。表示：用表示顶点和底面的字母表示，如棱锥S-ABCD.思考：下列命题是否正确？有一个面是多边形，其余各面都是三角形的立体图形一定是棱锥.2.正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。基础练习：1.下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为(  )A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点2.判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)五棱锥只有五条棱；(3)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？知识点四：棱台的结构特征1.棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，把截面和底面之间的部分称为棱台。思考：如何判断一个多面体是不是棱台？（提示：如果一个多面体的上下底面平行且相似，并且侧棱延长交于一点，则这个多面体是棱台．）第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2正棱台的结构特征⑴各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；⑵正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；⑶正棱台的对角面也是等腰梯形；⑷棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。基础练习：1、若要使一个多面体是棱台，则应具备的条件是_______A、两底面是相似多边形B.侧面是梯形C.两底面平行D.两底面平行，侧棱延长后交于一点2.下列四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确命题的个数有_________个。A．1个B．2个C．3个D．4个3、有三个命题,真命题的个数是()甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。A．0B.1C.2D.3知识点五：了解旋转体的含义由一个平面图形绕它所在平面内的一条直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴。知识点六：圆柱的结构特征1、圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。其中：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。2、圆柱的性质⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆；⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。(3)圆柱的母线平行且相等，并且等于圆柱的高，平行于轴。基础练习：1.给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行。A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列命题正确的是（）A.圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的直线B.圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线C.矩形的任意一条边都可以作为轴，其它边绕其旋转围成圆柱第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________A.矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱3.已知ABB是圆柱的轴截面，=4,AB=6/,P是BB的中点，一只小虫沿圆柱的侧面从A爬到P,则小虫爬过的最短路成为_________.知识点七：圆锥的结构特征1了解圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。思考：如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？DCAB2圆锥的结构特征⑴平行于底面的截面都是圆；⑵轴截面是全等的等腰三角形；（3）有无数条母线，母线都过顶点且相等。知识点八：圆台的结构特征1.了解圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。（以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴）2.圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；(2)圆台的截面是全等的等腰梯形；（3）圆台有无数条母线，且它们相等（母线大于高），延长后交于一点；基础练习：1.将一个直角梯形以其上底所在的直线旋转一周得到一个几何体，关于该几何体的以下描绘中，正确的是（）A.是一个圆台B.是一个圆柱C.是一个圆柱和一个圆锥的简单组合体D.是一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体2.下列命题，其中正确命题的个数为（）①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆④用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台A.0B.1C.2D.33.有下列四个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________以直角三角形的一边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交；④圆锥的轴截面是等腰三角形。其中错误命题的个数是（）A.1B.2C.3D.44.图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（)(1)ABCD知识点九：球的结构特征1.球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。2.球的结构特征⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2=R2–d2基础练习：1.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台2.A,B为球面上相异两点，则通过A,B两点可作球的大圆有（）A.一个B.无数个C.零个D.一个或无数个3.已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径。巩固提升：1.有下面五个命题：（1）各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥。其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.42.长方体的长、宽、高分别为3、2、1，从A到沿长方体的表面的最短距离为（）A.1+B.2+C.D.3、下列说法错误的是（）第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形4.下面多面体是五面体的是（）A三棱锥B三棱柱C四棱柱D五棱锥5、下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点6、如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A.（1）是棱台B.（2）是圆台C.（3）是棱锥D.（4）不是棱柱7、充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是8、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．9、球面上有A、B、C三点，已知AB=18，BC=24，AC=30，且球心到平面ABC的距离为球半径的1/2,那么这个球的半径为___________10、一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为cm和。求：（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长。11、如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 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选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________主视图：光线自物体的前面向后投射所得的投影称主视图或正视图；左视图：光线自物体的左面向右投射所得的投影称左视图或侧视图；俯视图：光线自物体的上面向下投射所得的投影称俯视图；注意：⑴俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。(长对正，高平齐，宽相等)⑵正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。（3）绘制三视图时，表面的交线与可见轮廓线都用实线画出，不可见边界的轮廓线，用虚线画出。例：画出下列图形的三视图：第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础练习：1.如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（）①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A②①③B①②③C③②④D④③②。正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图甲乙丙2、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（）A长方体或圆柱B正方体或圆柱C长方体或圆台D正方体或四棱锥3、如图所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是（  ）ABCD4、如图，下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是()5、①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体一定是正方体。②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体一定长方体。③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形，则这个几何体一定圆台。其中说法正确的是—————————知识点三：直观图1.了解直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2、斜二测法做空间几何体的直观图⑴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy=90°；⑵画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’=45°或135°，它们确定的平面表示水平平面；⑶在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的例1：利用斜二测画法得到的，其中正确的是_______①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形结论：①角的水平直观图还是角，大小可能发生变化，即相交直线仍相交②原图中相等的角直观图不一定相等③相等的线段不一定再相等④平行的线段仍平行例2：如图，直观图所示的平面图形是（）A.任意三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形例3：如图，直观图所示的平面图形是（）A.任意四边形B.直角梯形C.任意梯形D.等腰梯形例4：如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B’到x’轴的距离为____________巩固提升：一、选择题1、下列命题中正确的是()A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一定是梯形C.两条相交直线的投影可能平行D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点2、下列说法正确的是（）A水平放置的正方形的直观图可能是梯形B两条相交直线的直观图可能是平行直线第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________C平行四边形的直观图仍然是平行四边形D互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直3、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(  )A．①②B．①③C．①④D．②④4、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A倍B倍C2倍D倍5、水平放置的有一边在水平线上，他的直观图是正，则是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形二、填空题6、已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是_______7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的———————三角形。8、三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在——————————————投影下画出来的。9、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______________10、如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的投影可能是_______1.3空间几何体的表面积与体积几何体表面积相关公式体积公式棱柱棱锥棱台圆柱第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（r：底面半径，h：高）圆锥（r：底面半径，l：母线长）圆台（r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）球体基础练习：1．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（  ）A．1:2:3B．1:4:9C．2:3:4D．1:8:272．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．65653．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的表面积为A．B．C．D．4．棱长都是的三棱锥的表面积为（）A.B.C.D.5．长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．都不对6．下图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,计算该几何体的表面积为()A.B.C.D.侧(左)视图俯视图44正(主)视图2第7题 第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn 选择绿卡凯尔——提高的是成绩，学会的是方法！_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7．某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是()A．32B．C．48D．8．设正方体的棱长为,则它的外接球的表面积为（  ）A．B．2πC．4πD．9．中，，将三角形绕直角边旋转一周所成的几何体的体积为____________。10．已知圆台的上下底面半径分别是,且侧面面积等于两底面面积之和,则该圆台的母线为____11.（如图）在底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积12、已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积.13.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S第14页绿卡凯尔培训学校www.passcare.cn