空间几何体的体积

1.3.2空间几何体的体积 瞧，多么宏伟壮观的金字塔！你能求出它的体积吗？ 1.了解几何体体积的含义以及柱、锥、台与球的体积公式.（重点）2.能简单应用公式求解相关问题.（难点） 假设青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫．已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？探究点1柱体的体积 平面几何中我们用单位正方形的面积来度量平面图形的面积,立体几何中用单位正方体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几何体的体积.一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍,那么这个倍数就是这个几何体的体积的数值. 某长方体纸盒的长、宽、高分别为4cm，3cm，3cm，则每层有__________个单位正方体，三层共有____个单位正方体，所以，整个长方体的体积是_____.4×3=123636cm3V长方体=abc或V长方体=Sh.(s,h分别表示长方体的底面积和高)(a,b,c分别为长方体的长、宽、高)1.长方体的体积4cm3cm3cm 提示：高度、书中每页纸的面积和厚度不变，故体积不变.实验猜想：取一摞笔记本放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？2.一般柱体的体积 祖暅原理作图验证两个等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积也相等，则这两个几何体的体积相等． 我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列利提出上述结论.（429年～500年） 柱体的体积shSS底面积相等，高也相等的柱体的体积相等.V柱体=Sh 锥体（棱锥、圆锥）的体积（底面积S，高h）注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离.探究点2锥体(棱锥、圆锥）的体积 类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积相等.V锥体=S为底面积,h为高.ss等底面积、等高的锥体的体积有何关系?h ss′ss′hx上、下底面积分别是S′,S,高是h，则探究点3台体（棱台、圆台）的体积V台体= V台体=V柱体=ShV锥体=ss′sS′=0ss′S′=S思考：柱、锥、台的体积之间有什么关系？ RR探究点4球的体积、表面积一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等.球的体积 RS1球的表面积：球的表面积：设想一个球由许多顶点在球心,底面都在球面上的“准锥体”组成,这些准锥体的底面并不是真正的多边形,但只要其底面足够小,就可以把它们近似地看成真正的锥体. 例1.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg.已知毛坯底面正六边形边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,那么这堆毛坯约有多少个?(铁的密度是7.8g/cm3)【分析】六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差. NO【解】因为V正六棱柱=×122×6×10≈3.741×103(mm3)，V圆柱≈3.14×52×10=0.785×103(mm3)，所以毛坯的体积为V=3.741×103-0.785×103≈2.956×103(mm3)=2.956(cm3).约有毛坯：6×103÷(7.8×2.956)≈260(个).答:这堆毛坯约有260个.P 例2.如图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01cm3)86618515151111 采用斜二测画法.先画底座，这是一个正四棱台，再画杯身,是长方体.最后画出球体.如图.这个奖杯的体积为V=V正四棱台+V长方体+V球V正四棱台V长方体=6×8×18=864(cm3),V球=所以这个奖杯的体积为V≈1828.76cm3.【解】x′y′z′O′ 1.已知一正四棱台的上底面边长为4cm,下底面边长为8cm,高为3cm,其体积为______.2.用一张长12cm、宽8cm的铁皮围成圆柱形的侧面，该圆柱体积为_______________.（结果保留π）3.一个正方体内接于半径为R的球内，正方体的体积．112cm3 4.（2012·辽宁高考）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______.【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1,圆柱的底面直径为2,高为1,所以该几何体的体积为 E【解析】（1）（米3），（2）过点S作SE⊥BC于点E，连结OE，则SE是斜高，在直角三角形SOE中，（米2），（米2）. 1.柱体、锥体、台体的体积公式及它们之间的关系：设柱体、锥体的底面积、台体的下底面面积为S，台体的上底面面积为S′，高为h.类别体积公式柱体锥体台体V柱体=Sh 2、球的体积和表面积公式已知：球的半径为R.结论：体积V=______，表面积S=______.4πR2 全心贯注于你所期望的事物上，必有收获.