简单空间图形的直观图

直观图的画法立体几何的教学应辅以空间图形的直观图，这种图虽然不是空间图形的真实状态，但具有较强的立体感和直观性，还能表达出空间物体的长、宽、高三个方向上主要的位置关系和度量关系，所以在生产和实际生活中有广泛的应用．水平放置的平面图形直观图的画法重点是向学生介绍斜二测画法，也就是把水平放置的平面图形用斜二测画法画在纸上或黑板上，它与今后要学习的正等测画法有紧密的联系，也是后面柱、锥、台、球等直观图画法的基础．空间图形在平面内的表示法 一般地说，能否正确地画出水平放置的平面图形的直观图，直接影响到后面柱、锥、台、球等直观图画得是否具有立体感.即:能否正确地表达出空间图形各主要部分的位置及度量关系，进而影响到命题的推理论证及计算的正确性.因此正确地画出直观图是十分重要的．知识点:1.画直观图的实质：把画线段的直观图转化为画“点的直观图”．2.斜二测画法的特点：斜和二测．“斜”即在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中均与x轴成45°或135°角；“二测”是长度的度量形式，即在已知图形的直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度为原来的一半． 3.用尺规把水平放置的平面图形的直观图“复原”为原来的平面图形．整体感知:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，步骤较多.关键是选择“水平方向”的Ox轴与“竖直方向”的Oy轴，合理地确定要画的点，简化画图过程.但在画直观图时，都需多次画平行线.为使图形准确，要用三角板画平行线，培养正确的画图习惯.只有与Ox轴或Oy轴平行的线段，才能按x轴或y轴的轴向变化率在直观图中直接作出，否则要引辅助线．把空间图形在平面内画得既有立体感，又能应表达出图中各主要部分的位置关系和度量关系的图形，就是直观图——空间图形在平面内的表示方法． 中心投影(透视)虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，有不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影来画空间图形的直观图，下面我们看几个例子.根据正方形各角都是直角的特点，分别取AB、AD边所在直线为Ox轴和Oy轴，此时A是坐标原点O，且Ox轴⊥Oy轴，然后画出对应的O′x′轴和O′y′轴，使∠x′O′y′=45°，此时这两轴确定的平面为水平平面．例1、画水平放置的正方形的直观图怎样画水平放置的正方形的直观图呢？接着从两方面画图：位置关系和度量关系，在x轴上或平行于x轴的线段，相应地画在x′轴上或 在y轴上或平行于y轴的线段相应地画在y′轴上或平行于y′轴，但长度为原长度的一半．据此，先定出B′，D′两点，后过点D′作D′C′∥DC，使D′C′＝DC，这样就得到A′、B′、C′、D′各点，连结B′C′，C′D′，就得到ABCD的直观图A′B′C′D′，其中B′C′，C′D′是BC、CD的直观图，这种画直观图的画法，称为“斜二测画法”．平行于x′轴，且保持原长度不变；一切的美好源于真挚与坦城，虽然岁月不会轮回,天真不会重现,但一份真诚的祝福,仍会使你快乐每一天! 画法的规则是：（1）在已知图形中取水平平面,取互相垂直的轴Ox、Oy，再取OZ轴,使∠xOZ=90o,且∠yOZ=90°（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′、O′y′、O′Z′使∠x′O′y′=45°（或1350），∠x′O′Z′=90°，x′O′y′所确定的平面为水平平面；（3）已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或Z′轴的线段；（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原长度的一半． 〔练习〕画水平放置的等边三角形的直观图．点评：水平放置的多边形是由线段围成的，画它的直观图，只要画出每条线段端点的位置，即得直观图中对应的顶点,从而得到多边形的直观图．例2画棱长为2cm正方体的直观图．分析:(1)画水平放置的正方形的直观图ABCD．（2）分别过点A、B、C、D，沿z的方向取AA′=BB′=CC′=DD′=2cm（3）连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′,得到的图形为所求的正方体的直观图.xzy0 总结、扩展：(1)本课学习的内容是斜二测画法的规则，要求会用斜二测画法画出水平放置的平面图形和空间图形的直观图，(2)反之也会画．画图的关键是确定图形的顶点位置.(1)建立直角坐标系，并画出水平放置的坐标系．(2)在水平坐标系中确定图形对应的顶点的位置(3)顺次连结水平坐标系中的各顶点成图形，即得直观图.画图的一般步骤是：例题4、正六边形、正六棱柱直观图的画法.gsp例题3、斜二测画正五边形.swf、和圆gsp. 斜二测画法的逆应用例5如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．根据斜二测画法可知，先把成45°角的x′，y′轴“复原”为互相垂直的x轴，y轴．接着“复原”各个顶点，在x′轴上或平行于x′轴的线段相应地画在x轴上或平行于x轴,长度不变；在y′轴上或平行于y′轴的线段相应地画在y轴上或平行于y轴，但长度“复原”为2倍．如何在平面xOy内定出点A，是画此图的重点． 学生活动:1.阅读课本中有关内容，练习水平放置的正六边形的直观图的画法．2.下面说法正确吗？(1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形；(2)两条相交直线的直观图可能平行；(3)互相垂直的两条直线的直观图仍然可能互相垂直的.错错错祝同学们学习进步！