新课标版高考数学复习题库考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点18空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积1.（2010·陕西高考理科·Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）12(A)(B)(C)1(D)233【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中档题.【思路点拨】三视图几何体是直三棱柱该几何体的体积.【规范解答】选C.由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为2和1的直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积1V(21)21.22.（2010·辽宁高考文科·Ｔ11）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2,则球O的表面积等于（）（A）4(B）3(C)2(D)【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式.【思路点拨】建立空间坐标系设球心坐标球的半径球的表面积【规范解答】选A.SA平面ABC，AB，AC平面ABC，SAAB，SAAC，故可以A为原点，AC所在的直线为y轴，AS所在的直线为z轴建立如图所示的空间直63角坐标系A-xyz，则A(0,0,0),B(,,0),C(0,3,0),S(0,0,1),设球心O33坐标为(x0,y0,z0)，则点O到各顶点S，A，B，C的距离相等，都等于球的半径R. 2222xyzR000623222(x)(y)(z0)R00033，2222(x0)(y3)(z0)R000(x0)2(y0)2(z1)2R2000312解得x00,y0,z0,R1，222球的表面积为4R414.故选A.【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，2.也可用另外的方法找到球心，因为∠ABC是直角，所以AC是过A，B，C三点的小圆的直径，所以球心在过AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因为球心到点S，A，C的距离都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜边SC的中点，球的半径为SC的一半，3.另外，可将三棱锥S-ABC补成一个长方体进行求解.3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）(A)（0,62）(B)（1,22）(C)(62,62）(D)（0,22）【命题立意】以三棱锥为背景考查三角形中的三边关系，考查空间想象能力和运算能力.【思路点拨】分两种情况，一种是长度为a的棱在一个三角形中，另一种情况是长度为a的棱不在一个三角形中，分别讨论.【规范解答】选A.对于第一种情况，取BC的中点D连结PD，AD，则2PD＝3，AD＝a1,在△PAD中，对于第二种情况同理可以得到0a22， 综合两种情况，及0a4，所以a的取值范围是（0,62）.4.（2010·安徽高考理科·Ｔ8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（）(A)280(B)292(C)360(D)372【命题立意】本题主要考查三视图知识，考查考生的空间想象能力．【思路点拨】把三视图转化为直观图，进而运算求解.【规范解答】选C.由几何体的三视图可知，该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面面积之和.其中下面的长方体的三边分别为8,10,2,上面的长方体的三边分别为6,2,8,所以该几何体的表面积为2(81082102)2(6828)360，故C正确.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决此题的关键，由三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度，把几何体的表面积转化为下面长方体的表面积加上面长方体的4个侧面面积之和.5.（2010·浙江高考文科·Ｔ8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）352320（A）cm3（B）cm333224160（C）cm3（D）cm333【命题立意】本题主要考查了对三视图所表达的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积.【规范解答】选B.此几何体上方为正四棱柱、下方为四棱台.所以其体积为212232033V422(4848)（cmcm）.33【方法技巧】对于不规则几何体求体积时可分为几部分规则的几何体，再求体积和.6.（2010·北京高考理科·Ｔ3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视 图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（）（A）（B）（C）（D）【命题立意】本题考查三视图知识，考查同学们的空间想象能力.【思路点拨】结合正、侧视图，想象直观图.【规范解答】选C.由主、左视图可知直观图如图所示：因此，俯视图是选项C.7.（2010·北京高考理科·Ｔ8）如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，动点E，F在棱AB上，动点111111P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，AE=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积1（）D1C1（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关EFA1B1（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关DCQ（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关PAB【命题立意】本题考查几何体体积的求法，关键是找到易求面积的底面与高.考查空间想象能力，运算能力.【思路点拨】把四面体PEFQ的体积表示出来，由于EFQ中，EF1，Q到EF的距离为侧面的对角线长，故选择EFQ为底面.点P到EFQ的距离，即是点P到对角面ABCD的距离.111211【规范解答】选D.SS△EFEFQQ1222，点P到平面EFQ的距离h=z，VPEFQS△EFEFQ·Qhhz.2233 因此体积只与z有关，而与x,y无关.D1C1EFA1B1DCQPAB8.（2010·北京高考文科·Ｔ8）如图，正方体ABCD-ABCD1111的棱长为2，动点E，F在棱AB上.点Q是CD的中点，动点P在11D1C1棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的AEF1B1体积（）（A）与x，y都有关DCQP（B）与x，y都无关AB（C）与x有关，与y无关（D）与y有关，与x无关【命题立意】本题考查几何体体积的相关知识，关键是找到易求面积的底面与高.【思路点拨】把△EFQ看作底面，点P到对角面ABCD的距离即为对应的高.11112【规范解答】选C.SEF1222，点P到平面EFQ的距离h=x.EFQ222112xVSh2x,与x有关，与y无关.PEFQEFQ3323D1C1EFA1B1DCQPAB 9.（2010·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）2721122（A）a（B）a（C）a（D）5a33【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.【规范解答】选Ｂ.设球心为O，设正三棱柱上底面为ABC，中心为O，因为三棱柱所有棱的长为a，a32221则可知OO，OAa，又由球的相关性质可知，球的半径ROOOAa，所以236272球的表面积为4Ra，故选Ｂ.310.（2010·福建高考文科·Ｔ3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（）1(A)3(B)2(C)23(D)611【命题立意】本题考查三棱柱的三视图、侧面积.【思路点拨】由题意判断几何体的形状，结合三视图的数据求出侧面积.【规范解答】选D.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，侧面积为3×2×1=6.11.（2010·广东高考理科·Ｔ6）如图，△ABC为正三角形，AA//BB//CC,CC⊥平面3ABC且3AA=BB=CC=AB,则多面体ABC-ABC的正视图（也称主视图）是（）2C'B'A'CAB【命题立意】本题考查三视图的画法. 【思路点拨】可由投影的方法得到.3''3【规范解答】选D.由AA//BB及3AA=BB可得四边形ABBA的投影为梯形，再由3AA=22BB=CC=AB及底面为正三角形可得正视图为D.12.（2010·海南宁夏高考·理科T14）正视图为一个三角形的几何体可以是(写出三种)．【命题立意】本题主要考查空间几何体的三视图的相关知识.【思路点拨】一般来说，锥体的正视图中才会出现三角形.【规范解答】由几何体的三视图可知，正视图为三角形的可以是三棱锥、圆锥、四棱锥等.【答案】三棱锥、圆锥、四棱锥（不唯一）13.（2010·天津高考文科·Ｔ12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.【命题立意】本题主要考查三视图的基础知识，和柱体体积的计算，属于容易题.【思路点拨】由三视图还原几何体的形状.【规范解答】由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则由正视图和侧视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何1体的体积为（1+2）21=3.2【答案】3【方法技巧】根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充分的空间想象，结合三视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”与“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常见方法.14.（2010·湖南高考文科·Ｔ13）如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=cm.【命题立意】考查空间想象能力和把三视图等价转化为直观图的能力.【思路点拨】三视图→直观图，特别注意数据转化.【规范解答】在长方体ABCD-A1B1C1D1中体会三视图，得到三视图的直观图是三棱锥D1-DAC，D1D⊥DA，11D1D⊥DC，且DC=5，DA=6，则V=··DA·DC·h=20,∴h=4cm.32【答案】4 【方法技巧】在把三视图转化为直观图时，常常利用长方体为载体进行分析，常常注意三个方面：虚线和实线，面高和体高，垂直.15.（2010·辽宁高考理科·Ｔ15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.【命题立意】考查了几何体的三视图和几何体中的简单计算.【思路点拨】由三视图作出该几何体的直观图，判断出最长的棱，计算得出答案.【规范解答】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，（如图）底面ABCD是正方形，边长是2，PC底面ABCD，高PC＝2，PB＝PD＝22，222PA＝222＝23，所以最长的棱是PA，长为23.【答案】2316.（2010·浙江高考理科·Ｔ12）若某几何体的三视图（单位：cm）3如图所示，则此几何体的体积是___________cm.【命题立意】本题考查三视图、体积的计算公式，考查空间想象能力、运算能力.【思路点拨】先由三视图想象出直观图，再分解求体积.【规范解答】该几何体的直观图：上面是一个正四棱柱（底面边长4，高2），下面是一个四棱台（上底面边长为4，下底面边长为8，高为3）.因此，2122其体积为：42(4848)3144.3【答案】144【方法技巧】（1）在由三视图画直观图时，要注意三视图中的尺寸与直观图中尺寸间的对应关系.（2）求复杂几何体的体积一般先把它分成几个简单的几何体，再分别求体积. 17.（2010·天津高考理科·Ｔ１2）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.【命题立意】考查三视图的概念及锥体的体积公式.【思路点拨】由三视图还原几何体的形状.【规范解答】由三视图可得该几何体是一个组合体，上面是一个高为1的正四棱锥，其底是边长为2的正方形，下面是一个长为1、宽为1、高为2的长方体，所以所求几何体的体积为1410V22122.33310【答案】3【方法技巧】根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充分的空间想象，结合三视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”与“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常见方法.18.（2010·福建高考理科·Ｔ12）若一个底面是正三角形的三棱柱的1正视图如图所示，则其表面积等于.【命题立意】本题主要考查三棱柱的三视图与直观图、表面积.11【思路点拨】把三视图恢复成直观图，求出上、下底面和各个侧面的面积，进而求出表面积.【规范解答】三棱柱的直观图为底面边长为2的正三角形，侧棱长为1，1SS233，S1236，上底面下底面侧2SSSS336623.表面积上底面下底面侧【答案】623319．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视图，则hcm． 【命题立意】考查空间想象能力和把三视图等价转化为直观图的能力.【思路点拨】三视图→直观图，特别注意数据转化.【规范解答】在长方体ABCD-A1B1C1D1中体会三视图，得到三视图的直观图是三棱锥D1-DAC，D1D⊥DA，11D1D⊥DC，且DC=5，DA=6，则V=··DA·DC·h=20,∴h=4cm.32【答案】4【方法技巧】在把三视图转化为直观图时，常常利用长方体为载体进行分析.常常注意三个方面：虚线和实线，面高和体高，垂直.