2013高中数学高考真题分类：考点空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

温馨提示：此题库为Word版、请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴、调节合适的观看比例、关闭Word文档返回原板块。考点33空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ9）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T7)相同一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 (  )【解析】选A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A中的图.2.（2013·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等、底面是正方形、其正（主）视图如图所示、该四棱锥侧面积和体积分别是（）A.B.C.D.8,8 【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式.【解析】选B.由图知、此棱锥高为2、底面正方形的边长为2、,侧面积需要计算侧面三角形的高、.3.（2013·广东高考文科·Ｔ6）某三棱锥的三视图如图所示、则该三棱锥的体积是（）A、B、C、D、【解题指南】本题考查空间想象能力、要能由三视图还原出几何体的形状.【解析】选D.由三视图判断底面为等腰直角三角形、三棱锥的高为2、则.4.（2013·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示、则该四棱台的体积是（） A、4B、C、D、6【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式、应首先还原出台体形状再计算.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形、两底面边长和高分别为、.5.（2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上、若、则球的半径为（）【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题、通过作出截面、使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。【解析】选C.由题意、结合图形、经过球心和三棱柱的侧棱中点的大圆、与三棱柱的侧棱垂直、三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形、其外接圆的圆心为其斜边BC的中点、连接,由勾股定理、其中,所以球的半径为6.（2013·重庆高考理科·Ｔ5）某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为() A.B.C.D.【解题指南】直接根据三视图还原成原来的几何体,然后再根据体积公式求解.【解析】选C.由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,底面为梯形,由三视图可知该四棱柱的底面积为.高为.故体积为7.（2013·湖南高考理科·Ｔ7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形、则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A、B、C、D、【解题指南】由俯视图可知该正方体是水平放置的,则正视图有许多种可能,但最小面应是一个侧面,最大面应是一个垂直于水平面的对角面.【解析】选C.由于俯视图是一个面积为1的正方形,所以正方体是平放在水平面上,所以正视图最小面积是一个侧面的面积为1,最大面积为一个对角面的面积为、而＜1、所以答案C不正确.8.（2013·重庆高考文科·Ｔ8）某几何体的三视图如图所示、则该几何体的表面积为()A.B.C.D.【解题指南】根据三视图可还原原来的几何体,然后求出该几何体的表面积. 【解析】选D.由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.底面积为,由三视图知,梯形的腰为,梯形的周长为,所以四棱柱的侧面积为.表面积为.9.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ6）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 (  )A.B.C.D.【解题指南】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用求出球的体积.【解析】选A.设球的半径为R,由勾股定理可知、,解得、所以球的体积.10.(2013·浙江高考文科·T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 (  )A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3【解题指南】根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积. 【解析】选B.由三视图可知原几何体如图所示,所以.11.（2013·湖南高考文科·Ｔ7）已知正方体的棱长为1、其俯视图是一个面积为1的正方形、侧视图是一个面积为的矩形、则该正方体的正视图的面积等于（）A、B.1C.D.【解题指南】根据面积关系得出、侧视图就是正方体的一个对角面、则正视图也是一个对角面【解析】选D、根据条件得知正视图和侧视图一样、是正方体的一个对角面、故面积相等12.（2013·四川高考理科·Ｔ3）一个几何体的三视图如图所示、则该几何体的直观图可以是（）【解题指南】本题考查的是几何体的三视图、在判断时要结合三种视图进行判断、特别要注意虚线的标注. 【解析】选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致、并且俯视图是两个圆、可知只有选项D合适、故选D.13.（2013·四川高考文科·Ｔ2）一个几何体的三视图如图所示、则该几何体可以是（）A棱柱B棱台C圆柱D圆台【解题指南】本题考查的是几何体的三视图、在判断时要结合三种视图进行判断.【解析】选D、根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致且为梯形、并且俯视图是两个圆、可知只有选项D合适、故选D.14.（2013·湖北高考理科·Ｔ8）一个几何体的三视图如图所示、该几何体从上到下由四个简单几何体组成、其体积分别记为V1、V2、V3、V4、若上面两个几何体均为旋转体、下面两个简单几何体均为多面体、则有（）A.V1＜V2＜V4＜V3B.V1＜V3＜V2＜V4C.V2＜V1＜V3＜V4D.V2＜V3＜V1＜V4【解题指南】计算的大小、然后作比较. 【解析】选C.从而.15.（2013·江西高考文科·Ｔ8）一几何体的三视图如右所示、则该几何体的体积为（）A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π【解题指南】观察三视图得出几何体的结构特征、再代入体积公式进行计算.【解析】选A.由三视图知该几何体是一个组合体、上部是半圆柱、底面半径为3、高为2；下部为长方体、长、宽、高分别为10,4,5.所以此几何体的体积为=.16.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ11）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ8）相同某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (  )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π 【解题指南】观察三视图、根据三视图确定几何体的构成、利用圆柱及长方体的体积公式求解.【解析】选A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π.二、填空题17.（2013·辽宁高考文科·Ｔ13）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ13）相同某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积是_______.【解题指南】由三视图知该几何体是一个简单的组合体、一个圆柱的内部被挖去一个长方体。【解析】圆柱的底面半径为2、母线长4、其体积被挖去一个底面是边长为2的正方形、侧棱长4的长方体、其体积故该几何体的体积是【答案】18.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ15）已知H是球的直径AB上一点、AH:HB=1:2,AB⊥平面、H为垂足、截球所得截面的面积为π、则球 的表面积为_______.【解析】因为截球所得截面的面积为π、所以截面的半径为.设球的半径为,则,,由勾股定理得,解得.所以球的表面积为.【答案】.19.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ16）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ16）相同已知圆和圆是球的大圆和小圆、其公共弦长等于球的半径、则球的表面积等于.【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆.根据题意画出图形、确定圆与圆所在平面的二面角、构造直角三角形求出半径长.【解析】如图、设公共弦,为的中点、则、为圆与圆所在平面的二面角.所以、又为等边三角形、所以.又因为,、所以、即.解得、所以. 【答案】20.（2013·天津高考文科·Ｔ10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.【解题指南】先根据球的体积求出半径、再根据球的直径与其内接正方体对角线的相等关系求其棱长.【解析】设球半径为R、因为球的体积为、所以R=、又由球的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3、故其棱长为.【答案】21.(2013·浙江高考理科·T12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于    cm3.【解题指南】先由三视图,画出几何体,再根据几何体求解.【解析】由三视图可知原几何体如图所示,所以.【答案】24 22.（2013·上海高考理科·T13）在平面上、将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D、如图中阴影部分、记D绕y轴旋转一周而成的几何体为、过作的水平截面、所得截面面积为、试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体、得出的体积值为__________【解析】根据提示、一个半径为1、高为的圆柱平放、一个高为2、底面面积的长方体、这两个几何体与放在一起、根据祖暅原理、每个平行水平面的截面面积都相等、故它们的体积相等、即的体积值为、【答案】23.（2013·上海高考文科·T10）已知圆柱的母线长为l、底面半径为r,O是上底面圆心、A、B是下底面圆周上的两个不同的点、BC是母线、如图.若直线OA与BC所成角的大小为、则=.【解析】【答案】24.(2013·江苏高考数学科·T8)如图,在三棱柱A1B1C1 ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2=    .【解析】设三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h,则其体积为V2=Sh.因为D,E分别为AB,AC的中点,所以△ADE的面积等于,又因为F为AA1的中点,所以三棱锥F-ADE的高等于,于是三棱锥F-ADE的体积,故V1∶V2=1∶24.【答案】1∶2425.(2013·福建高考理科·T12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是        .【解题指南】如果考球,我们只要清楚一个结论,外接球的直径就是长方体的对角线.【解析】球是棱长为2的正方体的外接球,则球的直径,所以球的表面积为S=4πR2=πd2=12π.【答案】12π26.(2013·北京高考理科·T14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为    .【解析】如图、过P作PH垂直上底面A1B1C1D1,过E作EE1垂直上底面A1B1C1D1,E1在线段B1C1上,P到线段CC1的距离为HC1.当点P在线段ED1上运动时,P到直线CC1距离的最小值为C1到线段D1E1的高,所以最小值就是△C1D1E1的高.【答案】27.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ15）已知正四棱锥的体积为、底面边长为、则以为球心、为半径的球的表面积为________。【解题指南】利用正四棱椎的性质、求得OA的长、即可得球的表面积.【解析】设正四棱锥的高为、则、解得高、则底面正方形的对角线长为、所以,所以球的表面积为.【答案】 28.（2013·陕西高考理科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示,则其体积为.【解题指南】根据空间几何体的三视图推导出该几何体为半个圆锥、代入圆锥的体积公式求解.【解析】立体图为半个圆锥体、底面是半径为1的半圆、高为2。所以体积【答案】.29.（2013·陕西高考文科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示,则其表面积为.【解题指南】根据空间几何体的三视图推导出该几何体为半个球体、代入球的表面积公式求解.【解析】综合三视图可知、立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积=【答案】30.（2013·湖北高考文科·Ｔ16）我国古代数学名著《数书九章》中有 “天池盆测雨”题：在下雨时、用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸、盆底直径为一尺二寸、盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸、则平地降雨量是    寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【解题指南】先求出水的体积,再除以天池盆盆口的面积,得出平地降雨量.【解析】圆台的轴截面是下底长为12寸、上底长为28寸、高为18寸的等腰梯形、雨水线恰为中位线、故雨水线直径是20寸、所以降水量为【答案】331.（2013·北京高考文科·Ｔ10）某四棱锥的三视图如图所示、该四棱锥的体积为__________.【解题指南】由三视图可判断出此几何体是底面是正方形、高为1的四棱锥、再代入体积公式求体积。【解析】此棱锥底面是边长为3的正方形、高为1、所以体积为。【答案】3三、解答题32.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ19）如图、三棱柱中、、、. （Ⅰ）证明;（Ⅱ）若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积【解题指南】（Ⅰ）取的中点、利用线面垂直证明线线垂直；（Ⅱ）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积、先确定线面垂直、找到三棱柱的高.【解析】（Ⅰ）取的中点、连结、、.因为、所以.由于、、故为等边三角形、所以.因为、所以面.又平面、故.（Ⅱ）由题设知与都是边长为的等边三角形、所以、又、则、故.因为、所以面,为三棱柱的高.又、故三棱柱的体积.33.（2013·上海高考文科·T19）如图、正三棱锥O-ABC的底面边长为2、 高为1、求该三棱锥的体积及表面积。【解析】由已知条件可知,正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形,经计算得底面△ABC的面积为.所以该三棱锥的体积为××1=.设O'是正三角形ABC的中心.由正三棱锥的性质可知,OO'⊥平面ABC.延长AO'交BC于D,连接OD,得AD=,O'D=.又因为OO'=1,所以正三棱锥的斜高OD=.故侧面积为3××2×=2.所以该三棱锥的表面积为+2=3,因此,所求三棱锥的体积为,表面积为3.34.(2013·福建高考文科·T18)如图,在四棱柱PABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程). (2)若M为PA的中点,求证DM∥平面PBC.(3)求三棱锥DPBC的体积.【解题指南】先求出各棱长,画正视图时,先投射底面,然后连结P的投影即可;结合中点找中位线,证明线面平行;求体积时,要注意表达,要说明哪个线段是高.【解析】方法一:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E,由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得:BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=.正视图如图所示:(2)取PB中点N,连结MN,CN,在△PAB中,M是PA中点,所以MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,所以MN∥CD,MN=CD, 所以四边形MNCD为平行四边形,所以DM∥CN.又因为DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,所以DM∥平面PBC.(3)VDPBC=VPDBC=S△DBC·PD,又因为S△DBC=6,PD=,所以VDPBC=.方法二:(1)同方法一(2)取AB的中点E,连结ME,DE,(2)取AB的中点E,连结ME,DE,在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD,所以四边形BCDE为平行四边形,所以DE∥BC,又DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以DE∥平面PBC.在△PAB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,所以ME∥平面PBC.又因为DE∩ME=E,所以平面DME∥平面PBC,又因为DM⊂平面DME,所以DM∥平面PBC.(3)同方法一. 关闭Word文档返回原板块。