1.2.3空间中的垂直关系(1)

1.2.3空间中的垂直关系(1) 一.直线与平面垂直的定义1．两直线互相垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。 观察旗杆与地面内的每一条直线有什么关系，旗杆与地面的关系呢？ 2．直线与平面垂直：如果一条直线（l）和一个平面（α）相交于点A，并且a和这个平面内过点A的任何直线都垂直，则该直线垂直于这个平面，记作l⊥α，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。 αlAab 在几何中，定义兼具两重性，既是判定又是性质。判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是判定证明直线与平面垂直的一种方法；性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。 这是在线面垂直问题中经常要用到的一个结论。即判断正误：如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线l和平面α互相垂直. 二.直线与平面垂直的判定定理1．定理：①文字语言：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.②图形语言：③符号语言：aα，bα，a∩b=O，l⊥a，l⊥b，l⊥α. 实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，且使折痕AD⊥BC，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.DCBA 已知：，．求证：．证明：设m是α内的任意一条直线．推论1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为a，b，求证：l//m.证明：假设直线m与直线l不平行。过直线m与平面α的交点B作直线m’//l， 由直线与平面垂直的判定定理的推论1可知m’⊥α.设m和m’确定的平面为β，α与β的交线为a，因为直线m和m’都垂直于平面α，所以直线m和m’都垂直于交线a，因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线m与m’必重合，即有l//m. 例1．过一点和已知平面垂直的直线只有一条。已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条。 证明：不论P点在α外或内，设PA⊥α，垂足为A(或P)，如果过P点，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β,且α∩β=a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的。所以过点P与α垂直的直线只有一条。 例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 解：在△ABC和△ABD中，因为AB=8，BC=BD=6，AC=AD=10，所以AB2+BC2=82+62=102=AC2.AB2+BD2=82+62=102=AD2.所以∠ABC=∠ABD=90°，即AB⊥BC，AB⊥BD，又知B，C，D三点不共线，因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直。 例3．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l.求证：AP在α内。证明：设AP与l确定的平面为β，假设AP不在α内，则设α与β相交于直线AM。因为l⊥α，AMα,所以l⊥AM， 又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的，所以AP一定在α内。 直线与平面垂直的判定方法3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和平面垂直 练习题：1、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交C 2、在空间，下列命题（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.四个命题都正确。B 3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，求证：B1H⊥平面AD1C.证明：连接B1D1，∵B1B⊥AB，B1B⊥BC，∴B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥AC， ∵又AC⊥BD，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1H平面BB1D1D，∴AC⊥B1H，又B1H⊥D1O，∴B1H⊥平面AD1C.