新人教A版必修2 高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图 导学案

山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学必修二学案：1-2-3空间几何体的直观图[学习要求]1．掌握斜二测画法的作图规则；2．会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．[学法指导]通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图，提高空间想象力与直观感受力，体会对比在学习中的作用，感受几何作图在生产活动中的应用．图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征．三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图．一般采用中心投影或平行投影．中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量．立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫斜二测画法．投影规律1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变；2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变．知识点1．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在已知图形中取互相的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段，长度为原来的.2．立体图形的直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′.且平行于O′z的线段长度．其他同平面图形的画法. 一、水平放置的平面图形的画法 用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图，要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法．问题1把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图．比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？答 由矩形到平行四边形长没变，宽变小，直角变成了锐角或钝角．问题2 把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？答 发生变化的是高变为原来的一半，直角变成了45°角，相应的腰也发生了变化．问题3 用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。答 画法：(1)如图1，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图2中，画相应的x′和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN.以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.(3)连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(图3)．小结 上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，斜二测画法的基本步骤和规则：(1)建坐标系，定水平面；(2)与坐标轴平行的线段保持平行；(3)水平线段等长，竖直线段减半．注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．问题4 斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？画出水平放置的圆的直观图．答 看起来像椭圆．画法如下图：说明：关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．例1 用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．小结 此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．例2 将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝ OC＝1cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．显然与例1中的既不全等也不相似．例已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为(  )A．16B．64C．16或64D．无法确定答案：C解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.例利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的(  )答案：C解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.例 如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积．解 根据斜二测画法，等腰梯形的高为，所以AB＝1＋2×＝1＋，在平面图形中，AB的长度不变，CD的长为1，AD的长为2，所以这个平面图形的面积为(1＋1＋)×2＝2＋.点评 解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．例 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为(  )A.a2B.a2C.a2D.a2 解析1 画△ABC直观图如图(1)所示：则A′D′＝a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝a.画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC＝BC·AO＝a2.解析2如下图(1)为直观图，图(2)为实际图形．取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点，则在直角三角形A′O′M′中．∵O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，∴M′O′＝O′A′＝a，故A′M′＝a.在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧取到y轴距离为的点B、点C，在x轴上O点左侧取到y轴距离为a的点M，过M作x轴的垂线，在垂线上且在y轴正方向上取A点，使MA＝a，连结AB，AC，则△ABC为所求．显然S△ABC＝a·a＝a2，∴应选C答案：C例．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．[解析]  例给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0    B．1    C．2    D．3[答案] C[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．例水平放置的矩形ABCD，长AB＝4，宽BC＝2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为(  )A．4B．2C．4D．2[答案] B[解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4，A′D′＝×2＝1，作D′E⊥A′B′垂足E.∴D′E＝1×sin45°＝，∴S四边形A′B′C′D′＝A′B′·D′E＝4×＝2.例如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(  )A．2＋       B.C.D．1＋ [答案] A[解析] 还原成原平面图形后是一个上、下底分别为1和＋1，高为2的直角梯形，其面积S＝[1＋(＋1)]×2＝2＋.例△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(  )A．ABB．ADC．BCD．AC[答案] D[解析] 由于直观图中，∠x′O′y′＝45°，∴∠A′B′C′＝45°，故∠ABC＝90°，∴AC最长．二、空间几何体的直观图的画法例 用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图．解 (1)画轴．如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．点评： 直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.例 如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图． 解 由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥．画法：①画轴；②画圆柱的下底面；③画圆柱的上底面；④画圆锥的顶点；⑤成图．例已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(  )A．2cmB．3cmC．2.5cmD．5cm答案：D解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5cm.故选D.例如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．[解析] 由几何体的三视图可知，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个长方体，上部是一个四棱锥，其直观图如图所示．例用斜二测画法画一个底面边长为2cm，高为3cm的正五棱锥的直观图(不写画法)．[解析] 小结．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小. 三、从三视图还原直观图例(08·重庆文)如图，模块①—⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①—⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为(  )A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑤D．模块③，④，⑤[答案] A例如图，已知几何体的三视图，则该几何体是________和________的组合体．(  )A．圆柱和棱锥B．长方体和圆锥C．圆柱与圆锥D．圆锥和圆台[答案] C[解析] 由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．例一个几何体的三视图都是矩形，则该几何体可能为(  )A．圆柱B．棱柱C．棱台D．长方体[答案] D例一幢楼由相同的若干房间组成，三视图如图，则该楼(  )A．长4间，宽1间，最高4层B．长4间，宽2间，最高4层C．长2间，宽4间，最高2层D．长4间，宽1间，最高2层[答案] B[解析] 由正视图与俯视图知，该楼长4间，由侧视图和俯视图知该楼分前后两间，由正视图和侧视图知，该楼最高4层．例某物体的直观图如图(1)，则其俯视图为(  ) [答案] D例一个几何体的三视图均为等腰直角三角形(如图)，则该几何体的直观图为(  )[答案] C[解析] A、B的正视图都应是图(1)，D的侧视图应为图(1)均不符合，故选C.[点评] 由三视图可知，该几何体是过等腰直角三角形的直角顶点作三角形所在平面的垂线得到的三棱锥．例平行投影的投影线______，中心投影的投影线________．[答案] 互相平行，交于一点例如果一个梯形的平行投影仍是梯形，那么它的中位线的平行投影一定是这个梯形的平行投影的__________．[答案] 中位线例有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．[答案] 四棱台例画出如图所示的物体的三视图．[解析] 几何体的三视图如图所示．