1.3.1--柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 瞧，多么宏伟壮观的金字塔！这将需要多少沙石？ 赫尔佐格“鸟巢(nest)”德梅隆我们的身边存在着各种各样的几何体、建筑或者装饰时,都需要知道它们的表面积或体积，以便计算用料和工时，如何计算呢？ 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推导过程.（难点）2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体积.（重点）3.熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系，培养转化与化归的思想与空间想象能力.（难点） 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图平面图形面积 空间问题平面问题 知识探究正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积．棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 棱柱的侧面展开图棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱柱的侧面展开图特别提醒将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立体几何问题最基本、最常用的方法. 棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开h′正棱锥的侧面展开图h′ 棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开h′正棱台的侧面展开图h′ 棱柱、棱锥、棱台的表面积h′h′棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面积之和． 知识应用例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．分析：四面体的展开图是由四个全等的等边三角形组成．【解析】先求△SBC的面积，过点S作SD^BC，S交BC于点D．o3因为BC=a，SD=SBsin60=×a,A211332所以SΔSBC=BCSD=a××a=a.BDC2224322因此，四面体S-ABC的表面积为4×a=3a.4 圆柱的表面积rOl2rO圆柱的侧面展开图是一个矩形，2S2r2rll2r(r).圆柱表面积 圆锥的表面积S2rlrO圆锥的侧面展开图是一个扇形，2Srrllr(r).圆锥表面积 圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么?2r'r'O′2rlrO圆台的侧面展开图是一个扇环，22S(rrrllr).圆台表面积 【提升总结】圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？rOr'O′r′＝rr′＝0lll上底扩大r上底缩小rOOO22S柱2r(rl)S台(rrrllr)S锥r(rl) 知识应用例2如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）？20cm15cm15cm 分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积. 【解析】如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积轾152215201.5S=π创(犏)+×15+×15-π()犏臌222220cm22?1000(cm)0.1(m).涂100个花盆需油漆：15cm15cm0.1×100×100=1000（毫升）.答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆. 柱体体积以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为VSh（S为底面面积，h为高）．一般柱体的体积也是VSh，其中S为底面面积，h为柱体的高． 圆锥体积圆锥的体积公式是1VSh（其中S为底面面积，h为高），31它的体积是同底等高的圆柱的体积的．3 棱锥体积探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间等底等高的三棱锥的关系．体积相等.三棱锥与同底等高的三棱柱的关系 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积1的，即棱锥的体积31VSh（其中S为底面面积，h为高）.3由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的1．3 台体体积P根据台体的特征，如何求台体的体积？由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截ADSC成的，因此可以利用两个锥体的体B积差，得到圆台(棱台)的体积公式hD(过程略)ASV=V-VP-ABCDP-ABCDC1(SSSS)hB3 棱台（圆台）的体积公式1V(SSSS)h，3其中S,S分别为上、下底面面积，h为棱台（圆台）的高． 【提升总结】公式有它的统一性.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？上底扩大上底缩小1S01VShSSV(SSSS)hVSh33S为底面面积，SS，分别为上、下底S为底面面积，h为柱体高面面积，h为台体高h为锥体高 知识应用例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14，可用计算器）？ 【解析】六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即32210V=创126103.14(?创)10423»2956(mm)3=2.956(cm).所以螺帽的个数为5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252（个）.答：这堆螺帽大约有252个． 1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为()AA.48+122B.48+242C.36+122D.36+242 【解析】选A.由三视图得棱锥如图所示，AO⊥底面BCD，O是BD的中点，BC=CD=6，BC⊥CD，AO=4，AB=AD.1S△BCD=2×6×6=18,1S△ABD=2×62×4=12.2取BC的中点E，连接AE，OE.可得BC⊥AE，AE=22AO+OE=5,1所以S△ABC=S△ACD=2×6×5=15,所以S全=18+12+15+15=48+12.22 16322.（2012·新课标全国卷）如图所示：网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（B）A.6B.9C.12D.18【解析】选B.由题意知，此几何体是三棱锥，111其高h=3，相应底面面积为S=×6×39=，V=Sh=×9×3=9.233 3.已知一个圆柱底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为(D)A.2B.4C.8D.16 4.（2012·山东高考）如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,1111E,F分别为线段AA,BC上的点,则三棱锥D-EDF的体积为1111____________.611【解析】因为E点在线段AA上,所以S11,又因为F点在线段BC1DED1122上,所以点F到平面DED的距离为1,即h1,所以11111VVSh1.D1EDFFDED13DED13261答案：6 5.（2012·上海高考）若一个圆锥的侧面展开图是面积3为2的半圆面,则该圆锥的体积为_________.312[解析]如图,πl=2πl=2,又2r=lr=1,2123所以h=3,故体积V=πrh=π.33PPllhrO2r3答案：π3 圆柱S2r(rl)柱体、锥体、台体rr的表面积22圆台S(rrrlrl)r0展开图圆锥Sr(rl)转化的思想各面面积之和 柱体VShSS'1柱体、锥体、台台体V(SSSS)h3体的体积S'01锥体VSh联系的观点3 不能把希望叫做白日做梦，也不能把白日之梦叫做希望。