柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积

1.3.1空间几何体的表面积与体积2021/7/27Mr.chen 矩形面积公式：圆面积公式：圆周长公式：扇形面积公式：梯形面积公式：扇环面积公式：三角形面积公式：一.复习回顾： 在小学已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题二、课堂设问，任务驱动二.问题引入： 正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和．因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．结论棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？探究 怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和表面积=侧面积+底面积 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图正棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图侧面展开正棱锥的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的展开图侧面展开h'h'正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，其表面积＝各个侧面面积和+底面面积．h' 典型例题例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．BCDAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，所以交BC于点D．解：先求的面积，过点D作，因此，四面体S-ABC的表面积． 变式1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的四棱柱S-ABCD，求它的表面积．2.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，6，斜高为2，求表面积。 练习1.已知正三棱锥的高为3，底面边长为2，求侧面积。2.已知正四棱锥的高为3，底面边长为2，求侧面积。3.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，6，高为2，求全面积。 三、新知建构，交流展示2.典例分析：题型一求几何体的表面积题型二与三视图有关的面积计算题型三实际应用问题 三、新知建构，交流展示 【例2】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS思路点拨：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 思考根据圆柱、圆锥的几何结构特征，如何求它们的表面积？OO 圆柱的表面积O圆柱的侧面展开图是矩形r为底面半径,l为母线长 圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形Or为底面半径,l为母线长 探究（1）联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象出圆台展开图的形状，并画出它吗？（2）如果圆台的上、下底面半径分别是，，母线长为，你能计算出它的表面积吗？ 圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．OO’圆台的侧面展开图是扇环r,r’为上,下底面半径,l为母线长 三者之间关系OO’OO圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小 典型例题例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积答：花盆的表面积约是999． 练习1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个边长为6的正方形，求这个圆柱的侧面积。2.已知圆锥的高为2，母线长为3，求圆锥的侧面积。3.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，求圆锥侧面展开图的扇形的圆心角，圆锥轴截面的顶角。 柱体、锥体、台体的表面积小结： 四、当堂训练，针对点评 四、当堂训练，针对点评 四、当堂训练，针对点评 变式训练4-1:已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。四、当堂训练，针对点评 长方体体积：正方体体积：圆柱的体积：圆锥的体积：一.复习回顾： 思考：取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？二.问题引入：二、课堂设问，任务驱动 关于体积有如下几个原理：（1）相同的几何体的体积相等；（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；（3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；（4）体积相等的两个几何体叫做等积体.三、新知建构，交流展示 祖暅原理夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．问题：两个底面积相等、高也相等的柱体的体积如何？三、新知建构，交流展示 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，h为高）．柱体体积一般棱柱体积也是：其中S为底面面积，h为棱柱的高． 圆锥的体积公式：（其中S为底面面积，h为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的．圆锥体积 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系探究 （其中S为底面面积，h为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：锥体体积 台体体积由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)．根据台体的特征，如何求台体的体积？ 棱台（圆台）的体积公式其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．台体体积 锥体、台体平行于底面的截面性质PA1B1C1D1ABCD练习：棱台的上、下底面面积之比为4:9,求这个棱台的高与原棱锥的高之比。 柱体、锥体、台体的体积公式间关系S为底面面积，h为柱体高S′、S分别为上、下底面面积,h为台体高S为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小 一般棱柱体积其中S为底面面积，h为棱柱的高．锥体的体积公式其中S为底面面积，h为高．圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的． １.圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱的体积。侧面展开图直观图1直观图2 根据题目要求,和相关条件,求值. 已知正四棱台两底面的边长和体积,求棱台的高.V=19000 柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和知识小结展开图圆台圆柱圆锥 柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识小结 三、新知建构，交流展示2.典例分析：题型一求几何体的体积题型二与三视图有关的体积计算题型三实际应用问题 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 [例4]有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有252个．三、新知建构，交流展示 四、当堂训练，针对点评 四、当堂训练，针对点评 各面面积之和展开图圆台圆柱圆锥棱柱、棱锥、棱台圆柱、圆锥、圆台柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体柱体、锥体、台体的体积五、课堂总结，布置作业 1.3.2球的表面积和体积 球的体积 例4如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.(3)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. 1.球的体积是,则此球的表面积是____.2.两个球的表面积之比为1:9,则此两球的体积之比为______.3.棱长为1的正方体其外接球的表面积为___,体积为____.161:2761 典型例题例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有252个． 柱体、锥体、台体的表面积小结展开图各面面积之和圆柱圆台圆锥 小结S为底面面积，h为柱体高S分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高柱体、锥体、台体的体积 球体的表面积与体积练习1.若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的倍。2.若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍。3.若两球表面积之比为1:2,则奇体积之比为4.若两球体积之比为1:2,则其表面积之比为4 几何体与球的接切问题1.长方体内接于球体：对角线长l=2R2.正方体内接于球体：对角线长l=2R3.球内切于正方体：棱长a=2R练习：1.一个长方体各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱长分别是1、2、3，则此球的表面积为2.已知正方体的外接球的体积为,则该正方形的表面积为32 (1)空间几何体的侧面积和表面积①多面体的表面积:因为多面体的各面都是平面,所以多面体的表面积就是各个面的__________,即展开图的面积,侧面积就是侧面展开图的面积.面积之和1．柱、锥、台和球的表面积和体积一、知识回顾 ②旋转体的侧面展开图及其表面积:名称侧面展开图表面积侧面积圆柱矩形S=___________=_________S侧=_____圆锥扇形S=___________=_________S侧=____2πr2+2πrl2πr(r+l)2πrlπrlπr2+πrlπr(r+l) 名称侧面展开图表面积侧面积圆台扇环S=___________________S侧=__________球S=_____(r为半径)π(r′2+r2+r′l+rl)π(r+r′)l4πr2 (2)几何体的体积①柱体:V=___(S为底面面积,h为高),特别地,V圆柱=_____(r为底面半径,h为高);②锥体:V=___(S为底面积,h为高),特别地,V圆锥=_____(r为底面半径,h为高);Shπr2h③台体:V=_____________(S,S′分别为上、下底面面积,h为高),特别地,V圆台=______________;④球:V=______(R为半径). OrOr二、典例分析 ABCA1B1C1PA1B1C1ABCP 规律方法(1)有关几何体表面积问题，要学会把空间图形转化为平面图形，把曲面转化为平面的处理问题方法.(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．小结1：空间几何体表面积的求法 22 (yP213T) A 【例题4】如图:△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.则此几何体的体积为.“分割法”“补形法”96 【训练4】如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_______. 规律方法(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积关键是由三视图确定直观图，利用相应公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．小结2:空间几何体体积的求法 o(xP30基础3T) D1(xP30典例1T) (yyP228T) 规律方法(1)选准最佳角度作出截面,达到空间问题平面化的目的．小结3：球与空间几何体的接、切问题(2)利用“补形”的方法,找到几何体的外接球及内切球. 作业1.课本P28习题1.3A组1-3；2.全优课堂P12例1～3；变1～3,P14课堂演练1~4