高中数学必修2-1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》同步练习

1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》同步练习(1)一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(  )A．4倍B．3倍C．倍D．2倍[答案] D[解析] 由已知得l＝2r，＝＝＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的侧面积等于(  )A．2B．4C．6D．3[答案] C[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则c＝1，ab＝2，·c＝，∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(  )A．B．C．D．[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(  )A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2 ，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(  )A．32B．16＋16C．48D．16＋32[答案] B[解析] 易知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则斜高为2，故S侧＝4××4×2＝16，S底＝4×4＝16，所以S表＝16＋16.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(  )A．180B．200C．220D．240[答案] D[分析] 根据三视图可以确定此几何体为四棱柱，再由数量关系分别去确定侧面积与底面面积，相加为该几何体的表面积．[解析] 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.[易错警示] 本题在求解过程中易错误将3作为等腰梯形的腰长，从而误求结果为200. 二、填空题7．已知圆柱OO′的母线l＝4cm，全面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r＝________cm.[答案] 3[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3cm.8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案] 24＋2[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(×2×)＋3×(4×2)＝24＋2.9．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案] (4＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为＝2，则圆锥的侧面积等于4π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π.三、解答题 10．已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．[答案] [解析] 设圆台的母线长为l，则圆台的上底面面积为S上＝π×22＝4π，圆台的下底面面积为S下＝π×52＝25π，所以圆台的底面面积为S＝S上＋S下＝29π.又圆台的侧面积S侧＝π(2＋5)l＝7πl，则7πl＝29π，解得l＝，即该圆台的母线长为.11．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2.如图所示易知△AEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.12．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm) [解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h′＝2，其表面积S＝42＋4×4×2＋(×4×2)×4＝48＋16cm2.1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》同步练习(2)一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(  )A．6  B．3  C．11  D．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(  )A．3B．4C．5D．6[答案] A[解析] 由题意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.3．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为(  ) A．1B．C．D．[答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥．体积V＝××1×1×1＝.4．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(  )A．6πB．5πC．4πD．3π[答案] D[解析] 如图过A作AD垂直BC于点D，此几何体为一个大圆锥挖去一个小圆锥V＝π×()2×4－π×()2×1＝3π.故选D.5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(  ) A．4B．C．D．6[答案] B[分析] 根据三视图可知此几何体为棱台，分别确定棱台的底面面积和高即可求得体积．[解析] 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.6．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为(  )A．29cmB．30cmC．32cmD．48cm[答案] A[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h，则有π×12(h－20)＝π×32(h－28)，解得h＝29(cm)．二、填空题7．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.[答案] [解析] 设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.8．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________. [答案] 124[分析] 找到棱锥的底、高与棱柱的底、高之间的关系，从而可以得出它们的体积之比．[解析] 设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S×h＝Sh＝V2，即V1V2＝124.9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的的侧面积相等且S1S2＝94，则V1V2＝________.[答案] 32[解析] 设甲圆柱底面半径r1，高h1，乙圆柱底面半径r2，高h2，＝＝，∴＝，又侧面积相等得2πr1h1＝2πr2h2，∴＝.因此＝＝.三、解答题10．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解析] 如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·，即R－r＝3×，∴R－r＝.又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×，∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3， ∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π.所以圆台的体积为21π.11．已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[分析] 应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解．解题流程：[解析] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.所以BC·AC＝AB·CD，所以CD＝，记为r＝，那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π，V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB＝π×()2×5＝π.[特别提醒] 求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积． [解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.