《131柱体、锥体、台体的表面积与体积》学案

《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》学案罗田一中高一数学组王建林提出问题在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1)长方体及其展开图(2)图1①棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？②如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？③联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？④圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式，思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和。②让学生思考棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的形状，解决多面体的表面积问题。③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状，思考圆台的侧面展开图的形状，解决旋转体的表面积问题。④提示学生用动态的观点看待这个问题。讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和。因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积。②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和。③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得。其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）。如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl。因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)。圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）。如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l)。点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法。圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积图2图3等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l)。④圆柱、圆锥、圆台表面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体。圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的表面积，不难发现：2 S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l)。图4从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的表面积公式都可以看作由圆台表面积公式演变而来。提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②如何根据柱体的体积公式，得出锥体的体积公式？如何根据锥体的体积公式推导出台体的体积公式？③比较柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高)。你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式。②让学生思考等底等高的圆柱、圆锥的体积关系。③让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系。讨论结果：①棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高。②圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的。棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=(S为底面面积，h为高)。由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的。由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高。注意：不要求推导公式，也不要求记忆。③柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体。因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体。当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式。柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图52