高中数学 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案 新人教a版必修2

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略 （六）精讲精练1.教学表面积计算公式的推导：①讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）②练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1)2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=，S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。解：设圆锥的母线长为，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为，即，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为，根据勾股定理，圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式得变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（） A．B．C．D．分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为2.教学柱锥台的体积计算公式：①讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）②根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？→给出柱体体积计算公式：（S为底面面积，h为柱体的高）→③讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？④根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？→给出锥体的体积计算公式：S为底面面积，h为高）⑤讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？→如何计算台体的体积？⑥给出台体的体积公式：（S，分别上、下底面积，h为高）→（r、R分别为圆台上底、下底半径）⑦比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式讨论：侧面积公式是否也正确？圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？ 公式记忆：例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为答案：A变式训练:如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．1B．C．D．活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为答案：D（七）反馈测评1．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（）A．1:2B．1:4C．1:6D．1:8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥转化为三棱锥，这样三棱锥与三棱锥的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。答案：B【板书设计】 一、柱体、锥体、台体的表面积与体积二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】导学案课后练习与提高1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课前预习学案一、预习目标1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。二、预习内容1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。三、提出疑惑1．利用斜二测画法叙述正确的是（）1．一个长方体的三个面的面积分别为，则这个长方体的体积为（）A．6B．C．3D．2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）A．2B．C．D．83．长、宽、高分别为的长方体的表面积S=。4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这个圆台的体积V=。课内探究学案一、学习目标1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。学习重点：运用公式解决问题学习难点：理解计算公式的由来.二、学习过程 （一）台体、柱体面积问题探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）（二）台体、柱体体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？方法：组内讨论,自我展示.(二)精讲点拨、有效训练1.教学表面积计算公式的推导：讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=，S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（） A．B．C．D．2.教学柱锥台的体积计算公式：给出台体的体积公式：（S，分别上、下底面积，h为高）→（r、R分别为圆台上底、下底半径）探究：比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式讨论：侧面积公式是否也正确？圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？公式记忆：例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．变式训练:如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．1B．C．D．三、反思总结 S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。S=，S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。S=，S=.四、当堂检测1．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（）A．1:2B．1:4C．1:6D．1:8课后练习与提高1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）A．B．C．D．2．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．3．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．4．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的倍。5．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是。6．右图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点。现在沿所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？参考答案：1.C2.D3.B4.4165.S/26.解：设正方体的棱长淡，则正方体的体积为 三棱锥的底面是，即为，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以所以的面积为又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以所以锯掉的部分的体积为又因，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的