柱体锥体台体的表面积

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积1．能根据柱、锥、台的结构特征，并结合它们的展开图，推导其表面积的计算公式，从度量的角度认识几何体．2．能用类比的方法处理问题，并认识到事物之间可以相互转化． 名称图形侧面面积表面积圆柱圆锥旋转体的表面积. 名称图形侧面面积表面积圆台(其中r为底面圆的半径，l为母线长；r1为上底面圆的半径，r2为下底面圆的半径，l为母线长)注意：(1)直棱柱和圆柱的侧面展开图是______．矩形(2)圆锥的侧面展开图是______．扇形续表 (3)侧棱相等的n棱台的侧面展开图是n个全等的________．等腰梯形(4)圆台的侧面展开图是________．扇环练习1：棱长为1cm的小正方体组成如图1－3－1的几何36体，那么这个几何体的表面积是________cm2.图1－3－1 练习2：侧棱长均为5cm、底面边长均为6cm的三棱锥的表面积为____________．36＋9图D16 练习3：已知正四棱台的上底面的边长为4cm，下底面的边长为8cm，侧棱长为8cm，则此四棱台的表面积为_________．图D17 练习4：若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为()CA．2B．2.5C．5D．10解析：设母线长为l，由π(1＋3)l＝2π(12＋32)得l＝5.简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？提示：表面积变大了． 题型1最基本几何体的运算例1：如图1－3－2，已知四边形ABCD为直角梯形，AB⊥AD，DC∥AB，且边AB，AD，DC的长分别为7cm，4cm，4cm，分别以AB，AD，DC三边所在直线为旋转轴，求所得几何体的表面积．图1－3－2 关键是能想象出旋转后得到的是什么组合体，然后再利用空间多面体表面积的求法解答．自主解答：作CE⊥AB于点E，(1)以AB所在直线为旋转轴(此时旋转得到一圆锥和一圆柱的组合体)：S1＝8π×4＋π×4×5＋π×42＝68π.(2)以AD所在直线为旋转轴：S2＝π×42＋π×72＋π×(4＋7)×5＝120π.(3)以DC所在直线为旋转轴：S3＝5π×4＋2π×4×7＋π×42＝92π. 【变式与拓展】1．已知△ABC三边AB，AC，BC长分别为3cm,4cm，5cm，分别以三边所在直线为旋转轴，求所得几何体的表面积．解：以AB所在直线为旋转轴：S＝4π(4＋5)＝36π，以AC所在直线为旋转轴：S＝3π(5＋3)＝24π，以BC所在直线为旋转轴：此时所得几何体为两个圆锥的 题型2由三视图求几何体表面积例2：一个几何体的三视图如图1－3－3，求这个三棱柱的表面积．图1－3－3 利用三视图求几何体表面积的关键，是正确理解和认识三视图中所给量与几何体中量之间的对应关系．自主解答：由三视图知三棱柱为直三棱柱，且直三棱柱的高为3.由正视图知直三棱柱底面三角形的高为1.由侧视图知三棱柱的底面三角形为等腰三角形，且腰长为，2，底面三角形的底边长为2∴直三棱柱的表面积为 【变式与拓展】2．已知某几何体的三视图如右图1－3－4，则该几何体的表面积是()C图1－3－4 题型3几何体表面积的最值问题▲例3：如图1－3－5，圆台上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长为20cm，从母线AB的中点M拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点B，求B，M间细绳的最短长度．图1－3－5 ＝自主解答：如图D18，沿BA所在母线将其展开，易知最短长度即为线段B，M的长度．设圆锥顶点为S，△SBC是其轴截面，则5SA10SA＋20，∴SA＝20cm.即M，B间细绳的最短长度为50cm.图D18 求旋转体或多面体侧面上两点间的最短距离的思路：将其转化为平面图形，在平面图形上求出的两点间线段的长度就是两点间的最短距离． 【变式与拓展】3．圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，求一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程．路程，由已知SA＝SA′＝3r，θ＝r·360°SA＝120°，在等腰△SAA′中可求得AA′＝3r.图D19解：如图D19，扇形SAA′为圆锥的侧面展开图，AA′即为所求的最短 易错点：没有分类讨论导致漏解例4：用一张长为8cm，宽为4cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积和底面积．试解：设卷成的圆柱的母线长(即高)为h，底面半径为r，则 名师点评：将矩形硬纸卷成圆柱有两种不同卷法，很容易丢解． 1．求台体的侧面积、底面积时，将台体补成锥体，会大大简化运算过程．2．求旋转体的表面积，要先弄清侧面展开图的形状，及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．