§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、学习目标1.了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式；2．能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、考纲要求：了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式。三、学法指导：预习教材P23~P26，找出疑惑之处，填写自主学习部分。四、自主学习引入：1.研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？2.初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（S为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？※探索新知探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？结论：正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.新知1：棱柱,棱锥,棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？正四棱锥正四棱台正六棱柱探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：（1）设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即.
（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即.试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？新知3：设圆台的上、下底面半径分别为r，′，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即.反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？五、典型例题例1已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积.例2如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为15,底部渗水圆孔直径为,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)?新知3：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)柱体体积公式为：，（S为底面积，h为高）锥体体积公式为：，（S为底面积，h为高）台体体积公式为：（，分别为上、下底面面积，为高）补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.反思.比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？图(1)例3.如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.图（２(2)变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.小结：
求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.例4。高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积.变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的正六棱锥的体积.※动手试试练1.一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为，求它的表面积.练2.在△中,°,若将△绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.练3.直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.六、学习小结1.棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式；2.将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.※知识拓展1.当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最后相加.2.柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；3.求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.七、当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.正方体的表面积是64,则它对角线的长为（）.A. B. C. D.2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）.A. B. C. D.3.如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.4.圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（）.A.6倍 B.9倍 C.12倍 D.16倍5.一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.八、课后作业
1.一个正四棱台的两底面边长分别为,,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（）.A.B.C. D.2.各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（）.A.B. C. D.3.若圆台的上、下底面半径和高的比为︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.4.已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.5.圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，求证：（度）.6.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则﹕﹕=7.如图，在长方体中，，，，且，求沿着长方体表面到的最短路线长.8.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).
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