河北省清河县清河中学高一数学 1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》学案
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资料简介
§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、学习目标1.了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式;2.能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、考纲要求:了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式。三、学法指导:预习教材P23~P26,找出疑惑之处,填写自主学习部分。四、自主学习引入:1.研究空间几何体,除了研究结构特征和视图以外,还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积,表示几何体表面的大小;体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢?2.初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式(S为底面面积,为高),是否柱体的体积都是这样求呢?锥体、台体的体积呢?※探索新知探究1:棱柱、棱锥、棱台的表面积问题:我们学习过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图(下图),你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗?结论:正方体、长方体是由多个平面围成的多面体,其表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积.新知1:棱柱,棱锥,棱台都是多面体,它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.试试1:想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子,它们的表面积如何计算?正四棱锥正四棱台正六棱柱探究2:圆柱、圆锥、圆台的表面积问题:根据圆柱、圆锥的几何特征,它们的侧面展开图是什么图形?它们的表面积等于什么?你能推导它们表面积的计算公式吗?新知2:(1)设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则它的表面积等于圆柱的侧面积(矩形)加上底面积(两个圆),即. (2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的表面积等于圆锥的侧面积(扇形)加上底面积(圆形),即.试试2:圆台的侧面展开图叫扇环,扇环是怎么得到的呢?(能否看作是个大扇形减去个小扇形呢)你能试着求出扇环的面积吗?从而圆台的表面积呢?新知3:设圆台的上、下底面半径分别为r,′,母线长为,则它的表面积等上、下底面的面积(大、小圆)加上侧面的面积(扇环),即.反思:想想圆柱、圆锥、圆台的结构,你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗?五、典型例题例1已知棱长为,各面均为等边三角形的四面体,求它的表面积.例2如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为15,底部渗水圆孔直径为,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)?新知3:经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)柱体体积公式为:,(S为底面积,h为高)锥体体积公式为:,(S为底面积,h为高)台体体积公式为:(,分别为上、下底面面积,为高)补充:柱体的高是指两底面之间的距离;锥体的高是指顶点到底面的距离;台体的高是指上、下底面之间的距离.反思.比较柱体、锥体、台体的体积公式,你能发现三者之间的关系吗?图(1)例3.如图(1)所示,三棱锥的顶点为,是它的三条侧棱,且分别是面的垂线,又,,求三棱锥的体积.图(2(2)变式:如图(2),在边长为4的立方体中,求三棱锥的体积.小结: 求解锥体体积时,要注意观察其结构特征,尤其是三棱锥(四面体),它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法,通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习),它会给我们的计算带来方便.例4。高12的圆台,它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为,求截得它的圆锥的体积.变式:已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,求截得它的正六棱锥的体积.※动手试试练1.一个正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为,求它的表面积.练2.在△中,°,若将△绕直线旋转一周,求所形成的旋转体的体积.练3.直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3,将棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值.六、学习小结1.棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式;2.将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.※知识拓展1.当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时,它们的展开图是一些规则的平面图形,表面积比较好求;当它们不是特殊的几何体,比如斜棱柱、不规则的四面体时,要注意分析各个面的形状、特点,看清楚题目所给的条件,想办法求出各个面的面积,最后相加.2.柱体、锥体、台体体积公式及应用,公式不要死记,要在理解的基础上掌握;3.求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.七、当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:1.正方体的表面积是64,则它对角线的长为().A. B.  C.   D.2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是().A. B.   C.  D.3.如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.4.圆柱的高增大为原来的3倍,底面直径增大为原来的2倍,则圆柱的体积增大为原来的().A.6倍   B.9倍   C.12倍    D.16倍5.一个斜棱柱的的体积是30,和它等底等高的棱锥的体积为________.八、课后作业 1.一个正四棱台的两底面边长分别为,,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为().A.B.C.  D.2.各棱长均为的三棱锥中,任意一个顶点到其对应面的距离为().A.B.  C.  D.3.若圆台的上、下底面半径和高的比为︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.4.已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.5.圆锥的底面半径为,母线长为,侧面展开图扇形的圆心角为,求证:(度).6.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为,则﹕﹕=7.如图,在长方体中,,,,且,求沿着长方体表面到的最短路线长.8.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重,已知底面是正六边形,边长为12,内孔直径为10,高为10,问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).

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