高中数学-柱体、锥体、台体的表面积与体积(练习)(解析版)

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（练习）(建议用时：40分钟)基础篇一、选择题1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(  )A．22   B．20   C．10   D．11【答案】A [所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]2．已知高为3的直棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1ABC的体积为(  )A.B.C.D.【答案】D [由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝，所以V＝Sh＝××3＝.]3．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(  )A．54B．54πC．58D．58π【答案】A [设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1，∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.]4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是(  )A．3πB．3πC．6πD．9π【答案】A [根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是(  )A．1∶∶B．6∶2∶C．6∶2∶3D．3∶2∶6【答案】C [设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝， 旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π2×2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.]二、填空题6．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积为__________．【答案】a2 [∵底面边长为a，则斜高为，故S侧＝3×a×＝a2，而S底＝a2，故S表＝a2.]7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径为________．【答案】7 [设圆台较小的底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l＝3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积＝π(r＋3r)l＝84π，解得r＝7.]8．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为________．【答案】1∶3∶5 [如图，由题意知O1A1∶O2A2∶OA＝1∶2∶3，以O1A1，O2A2，OA为底面半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5.]三、解答题9．将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．【答案】设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.由已知可得两个圆锥的底面半径分别为＝r，＝r，所以两圆锥的体积之比为 ＝.10．若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积.【答案】如图所示，连接AB1，AC1.因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等，所以VABEFC＝VAB1EFC1＝VABB1C1C.又VAA1B1C1＝S△A1B1C1·h，VABCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，所以VAA1B1C1＝，所以VABB1C1C＝VABCA1B1C1－VAA1B1C1＝m，所以VABEFC＝×m＝，即四棱锥ABEFC的体积是.提升篇1．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(  )A．4πS       B．2πSC．πSD.πS【答案】A [底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.]2．如图135，三棱台ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为(  ) 图135A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4【答案】C [设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S，∴VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，VCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VBA1B1C＝V台－VA1ABC－VCA1B1C1＝Sh－－＝Sh，∴体积比为1∶2∶4.]3．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图136所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.图136【答案】a [设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，圆柱形容器内的液体体积为π2h.根据题意，有πR2h＝π2h，解得R＝a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝， 所以h＝a.]4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.【答案】8 [如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.]5．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．【答案】如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，记为h0，所以S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0.上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325，所以h0＝(cm)．又O′D′＝××20＝(cm)，OD＝××30＝5(cm)，记棱台的高为h，则h＝O′O＝＝ ＝4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积V＝(S上＋S下＋)＝×(325＋×20×30)＝1900(cm3)．