高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积检测

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积[A级 基础巩固]一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(  )A．πB．2πC．4πD．8π解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.答案：B2．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(  )A．πB.C.D.解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．所以r＝＝.所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.答案：B3．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是(  )A.B.C.D．1解析：三棱锥D1ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙 角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有(  )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆的体积V＝×πr2h＝××5＝(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛)．答案：B5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是(  )A．6πB．12πC．18πD．24π解析：由三视图知，该几何体是两底面半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S＝π×(1＋2)×4＝12π.答案：B二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l＝＝，所以S侧＝π(1＋2)×＝3π.答案：3π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________． 解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×3－π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋.则S侧＝8＋2，S底＝2××1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2.答案：11＋2三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积． 解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2cm，底面高B′D′＝2cm，所以底面边长A′B′＝2×＝4(cm)．一个底面的面积为×2×4＝4(cm2)．所以表面积S＝2×4＋4×2×3＝24＋8(cm2)，V＝4×2＝8(cm3)．所以表面积为(24＋8)cm2，体积为8(cm3)．B级 能力提升1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(  )A．10B．12C．14D．16解析：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B.答案：B 2．(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.答案：2＋3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体．V四棱柱＝23＝8，V四棱锥＝×22×2＝.故几何体的体积V＝V四棱柱＋V四棱锥＝8＋＝(cm3)．