1.3《柱体、椎体、台体的表面积和体积》

1.3.1柱、锥、台体的表面积和体积1.3空间几何体的表面积和体积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题提出问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和．因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．引入新课棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？探究 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图侧面展开正棱锥的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的展开图侧面展开h'h'正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．h' 圆柱的表面积O圆柱的侧面展开图是矩形 圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形O 圆台的表面积OO’圆台的侧面展开图是扇环 三者之间关系OO’OO圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，h为高）．柱体体积一般棱柱体积也是：其中S为底面面积，h为棱柱的高． 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系 （其中S为底面面积，h为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：锥体体积 台体体积由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)．根据台体的特征，如何求台体的体积？ 棱台（圆台）的体积公式其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．台体体积 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为柱体高S分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高台体体积上底扩大上底缩小 例1已知长方体铜块的长、宽、高分别为8、4、2，将它溶化后铸成一个正方体（不计耗损），求铸成铜块的表面积和体积。 例2（1）已知棱长为a，各面均是等边三角形的四面体S-ABC，求它的体积和表面积；（2）已知圆锥的高为2，其侧面展开图是一个弧长为6π的扇形，求圆锥的表面积和体积；（3）将圆心角为120°，面积为3π的的扇形作为圆锥的侧面，求此圆锥的表面积和体积。 例3（1）一个四棱台，其上下底面均为正方形，边长分别为8和18，侧棱长为13，求其表面积；（2）已知直角梯形的上、下底，高分别为2,4，，将直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周形成圆台，求这个圆台的体积和表面积。 例4如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积。 例5一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积。正视图侧视图俯视图 例6有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有252个． 柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和知识小结展开图圆台圆柱圆锥 柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识小结 1.3.2球的体积和表面积 1.球的表面积球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即其中R为球的半径. 2、球的体积，其中R为球的半径. 练习：1．三个球的半径之比为那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍；3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是，内切球的体积是. 5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．提示：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。 例2.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.