必修2-第一章空间几何体-1.3.1柱体、锥体和台体的体积2

2010～2011学年度高一数学·必修1（人教A版）济宁育才中学高一数学组 朱继哲柱体、锥体与台体的体积 复习：1. 复习提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式是什么？2. 练一练：若知道正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 你能求出它的高和表面积吗? 探究新知：回顾：还记得特殊的棱柱—正方体、长方体，以及圆柱的体积计算公式吗？正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：V=Sh（S为底面面积，h为高） 简要介绍祖暅(gèng)原理，(教材P30）祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式： 1、柱体的体积公式结论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积相等.归纳：一般柱体的体积V=Sh,其中S为底面面积,h为柱体的高。 2、锥体的体积公式结论1：等底面积等高的两个锥体的体积相等。结论2：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。归纳：锥体的体积计算公式：S为底面面积，h为高。 想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S'=S和S'=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式. 例1(P26)有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14)?分析、讨论：六角螺帽的几何结构特征怎样？→如何求其体积？→利用哪些数量关系求螺帽的个数？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个)答：这堆螺帽大约个有252． 巩固练习：1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。2.棱台的两个底面面积分别是245cm2和80ｃm2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。（答案：2325cm3）3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm2,体积为2800cm3，求它的侧面积。 柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和知识小结:展开图圆台圆柱圆锥 柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识小结: 球的体积和表面积 典例精析题型一定理:2.半径是R的球的表面积:1.半径是R的球的体积: 例2.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.解:设截面圆心为O',连结OA,设球半径为R.则:在中， 例3.(P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的 ，(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R。.因为所以,(2) 因为，所以, ∴          ，例4．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为,求球的表面积和体积。解：作轴截面如图所示，设球半径为R,则: 例5．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。解：设球半径为R,正四棱柱底面边长为a,则作轴截面如图，又∴ 完成P28练习1,2,3题补充练习：1．三个球的半径之比为那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍；3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是，内切球的体积是． 5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．答案：1. 3   2. 7     3. 6    4.,5解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为,,.∴  三个球的表面积之比是 小结归纳 ：1、球的表面积公式的推导及应用；2、球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；3、球的体积公式和表面积公式要熟练掌握. 作业：P28习题1.3第3、4、5题；课外 P30  B组第1、3题.