13_柱体、椎体、台体的表面积与体积

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题导入新课 棱柱侧面的展开图aS表=S底+S侧平行四边形组成 棱锥侧面展开图三角形组成S表=S底+S侧 梯形组成棱台侧面展开图S表=S底+S侧 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积。DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。因为BC=a，所以：因此，四面体S-ABC的表面积：解：先求ΔSBC的面积，过S作SD⊥BC，交BC于点D。例1 已知棱长为4，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积。DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。解：先求ΔSBC的面积，过S作SD⊥BC，交BC于点D。例1 思考？如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？ 圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形 圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的表面积 圆台的侧面展开图是扇环圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台表面积侧面展开图侧面积表面积 r'＝r上底扩大r'＝0上底缩小探究圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ 一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到1cm2）？解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：答：花盆的表面积约是999．例2 2.已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。它的展开图的形状为________。该图形的弧长为_____cm，半径为____cm，所以圆锥的侧面积为______cm2。扇形6π34π扇形面积公式练习 3.已知圆台的上底面半径为r’=1,且侧面积等于两底面面积之和，母线长为l=5/2,求下底面半径r。圆台侧面积公式练习r=3 柱体、锥体、台体、球体的体积 提问：对几何体的体积你有哪些认识？③体积相等的几何体叫等积体，等积体不一定形状相同①几何体占有空间部分的大小，就是几何体的体积②完全相同的几何体的体积相等 小实验“幂势既同，则积不容异” 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。PQ 柱体体积公式 SSS等底等高的柱体等体积 柱体的体积公式：S是柱体的底面积，h是柱体的高 锥体体积公式 等底等高的棱锥与圆锥体积相同 ABCA’C’B’把三棱锥以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱 ABCA’C’B’连接B’C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3１23 就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’１23 CA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1高 BCA’B’2CA’C’B’3ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等。 ABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。高也相等（顶点都是A’）。高 如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2V1＝V2＝V3＝V三棱柱 V三棱锥＝Sh三棱锥的体积S是三棱锥的底面积，h是高 台体体积公式 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式． 台体的体积公式其中，分别为上、下底面面积，h为台体的高． 有一堆规格相同的铁制（铁的密是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）？例3 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有252个． 球体体积公式 Rrlo设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为l,那么r=因此S圆==()=lloll Rrlo设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为l,那么r=因此S圆==()=o Rrlo设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为那么r=因此S圆==()=oO1LPNKlBO2S圆环=圆环面积S圆=S圆环根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V球==所以V球= 球体的体积公式V球= 例4、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O证明:R(1)设球的半径为R,得:则圆柱的底面半径为R,高为2R.(2)222624RRRSppp=+=圆柱全Q 例5.如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体积。分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上。ABCDD1C1B1A1O323334222322343)2(aRVaRSaRaRpppp====\=\=\\且对角线长球的直径等于正方体的体正方体内接于球解：Q (变式)球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、,求此球体的表面积和体积。分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体体对角线与球的直径相等。pppp33233422222164216)3(23)2(====\=\=++=\\RVRSRR且体对角线长球的直径等于长方体的长方体内接于球解：Q OABC例6、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积、表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r， OABC例6、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积、表面积。