《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》教后设计、实践与反思一、内容与内容解析本课时的内容是柱体、锥体、台体的表面积与体积，是“空间几何体的表面积与体积”的一部分。该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用，这也是学习下一章内容时要用的基本方法。课程标准的要求是：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式（不要求记忆公式）。而且，新课程的编排体系是从整体到部分，从宏观到微观，也即在本课时学习之前学生对空间中点、线、面的位置关系尚无理性认知，所以，在本课时学习过程中只能通过直观感知、合情推理的方式展开教学。据此确定本课时的教学重点是：通过解决棱柱、棱锥、台体的表面积和体积问题培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力。二、目标与目标解析
1．了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式。（能解决练习中的问题。）2．在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。（在解决后面的问题时能主动用化归思想。）3．培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。（学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。）三、教学问题诊断分析本课时的一些内容学生在小学阶段就已经熟悉，但是当时学生是通过实验得到的，通过本课时的学习应该使学生的认识在理性方面有所提高，但是理性分析的基础又不具备，这是一对矛盾。若处理不当，就不可能激发学生进一步研究的欲望，降低了课堂教学的效果。因此在实际教学时，要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度，从而激发学生进一步学习的欲望。在解决具体问题时，要用相似三角形求得线段的长，这是本课时的难点。特别是对于基础比较好的学生，如果要完成教材旁白中所说的证明棱台的体积公式，其难度也是比较大的。因此确定本课时的教学难点是：台体的表面积与体积问题，以及适度理性分析的渗透。四、教学支持条件分析本课时涉及到的内容比较多，而且其中很多都是再现性的，因此必须借助适当的信息技术手段提前将需要再现的图形准备好，提高课堂教学的效率。
提前制作一些由一个棱柱切开成３个棱锥的模具，上课后供学生操作使用。五、教学过程设计引言：通过学习空间几何体的结构特征、空间几何体的三视图和直观图，我们了解了空间几何体与平面图形之间的关系。从中反映出一个思想方法，即平面图形与空间几何体的互化，尤其是空间几何体问题向平面问题的转化，这种化归的思想方法将贯穿立体几何的研究过程，是一个重要的思想方法，在今后的学习中大家应该重视这一思想方法的应用。（设计意图：挖掘旧知识中蕴含的数学思想方法，使得隐性知识显性化，在本课时的学习中发挥先行组织者的作用。）本课时研究的是柱体、锥体、台体的表面积与体积。空间几何体的表面积是几何体表面的面积，即几何体各个面的面积的和。空间几何体的体积是几何体所占空间的大小。问题1（1）试着完成表2中你会的部分。（2）比较表1和表2中空间几何体的侧面积与表面积你完成的部分，是否蕴含着上述化归思想，并请具体给出阐释。（设计意图：通过完成（１）达到帮助学生复习扫清学习障碍、同时了解学生基础的目的。通过完成（２）进一步明确化归思想方法，为后继解决问题提供思路。）活动方式：学生独立完成，之后教师利用展台展示学生完成的情况，讲评纠错。
预设的结果：学生可以完成表２中正方体、长方体的表面积和体积，圆柱、圆锥的侧面积和表面积和体积。在教师的引导下，学生进一步明确其中蕴含的空间几何体问题可以转化为平面几何问题求解的化归思想方法，运用这种方法时，第一步是要得到空间几何体的展开图；第二步是依次求出各个平面图形的面积；第三步将各平面图形的面积相加即可。实际情况：学生在写圆锥的侧面积时因为对扇形面积公式中字母含义认知不清，所以出现错误。于是对比表１进一步解决了利用弧长和半径表示的扇形的面积公式，之后又利用扇形面积公式求得圆锥的侧面积。在基础比较差的班级上课时，学生只能写出正方体和长方体的表面积和体积。学生计算正方体、长方体的表面积时由于熟悉并没有展开，而是直接计算求解，但是在回答问题“是否蕴含有上述化归思想时？”学生还是能很清楚的解释的。备用图：图1正方体及其展开图图2长方体及其展开图
图3圆柱及其展开图图4圆锥及其展开图问题２ （１）类比上述求法，利用化归的数学思想方法，完成练习1和练习2；练习1如图５，已知棱长为a，各面均为等边三角形的三棱锥S-ABC，求它的表面积．h'图6D图５练习２如图６，四棱台的上下底面均是正方形，边长分别是8cm和14cm，侧棱长都是5cm，求它的侧面积。（2）思考如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积？它与哪些平面图形有关系？之后在表2中写出求这几类空间几何体的表面积的思路。（设计意图：巩固已有方法。具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间，同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础。）活动方式：学生独立完成，展示交流点评。
预设的结果：先完成练习1和2，之后抽象得出一般解法。实际的情况：学生在解决问题时，思路比较顺畅，几乎不存在问题，但是实际计算时出现了问题，表现在计算正三角形的面积时出错：，于是求得最后结果，还有学生的计算结果是；计算梯形的面积时出现的错误是：错认为5是梯形的高。在练习2中只要求计算梯形的侧面积，但是有学生并没有认真审题，仍然计算全面积。回答如何计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积时学生的思路都没有问题。问题3 类比上述方法，求圆台的侧面积和表面积，数据如图8所示。ｈAB图8圆台及其侧面展开图（设计意图：巩固已有方法，解决新问题。）活动方式：学生独立完成，展示讨论，形成正确的解题步骤。预设的答案：（略）实际的情况
：学生的思路没有问题，但是具体的计算有问题，表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设O’’B=l’使得计算复杂；第二是根据三角形相似列式时出错，比如有学生列出的比例式是等等。针对上述情况实际教学时，将学生写的解答过程在展台上展示，通过提问“对应边是谁”，纠正错误。问题5将正方体、长方体的体积公式分别改写为：，其中h=a；，其中h=c.据此猜想棱柱的体积公式是什么？（设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯。）预设的答案：，其中h表示棱柱的高。实际的情况：比较顺利的完成。问题6根据圆锥体积与圆柱体积的关系，猜想棱柱的体积公式是什么？（设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯。）预设的回答：，其中h表示棱锥的高。实际的情况：比较顺利的完成。问题7我们知道等底同高的三角形的面积相等，类比这个结论针对三棱锥你能得到什么猜想？（设计意图：培养学生根据空间图形与平面图形的关系将平面几何中的结论在空间进行推广的意识和能力，为完成下面的人任务
做准备。）活动方式：学生独立思考，完成猜想，必要时教师予以帮助。预设的答案：如果两个三棱锥的底面积相等，高也相等，那么这两个三棱锥的体积相等。实际的情况：在基础较好的班完成的比较顺利，在基础较差的班完成的比较困难，学生不能将平面几何中的三角形、面积与空间中的三棱锥、体积联系起来。问题8：你能利用上述猜想解释猜想吗？。图9（设计意图：虽然此处还不能进行理论的论证，但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理，培养学生的理性思维习惯。）预设的活动方式：展示操作，由老师利用模型或图9进行解释。实际情况：都是学生完成的。（在学生基础较差的班级实际教学时没有进行到这里。）由于上课地点是大阶梯教室，所以只用了图9进行解释，学生解释正确，只是不善于改变方向换角度看问题。学生在解释图9中三棱锥1与2的体积相等选择的底面是，顶点是点A和点B’
。这样的选择能直接解释底面积相等，但是就目前的几何知识还解释不了高相等，虽然学生解释了如何做高。又有学生解释时选择的底面分别是和，顶点是C。这个选择比较容易理解，但是还不够直观，也许是因为手头没有模具的原因，后来在老师的提示下将两个三棱锥“扳倒”，使得和所在的面着地，那么顶点重合高相当，而不需要从顶点到底面做高，即直观又避开了没有学过的知识。问题9：类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗？如何求？如图，设圆台的上下底面积分别为s’和s，高为h，试求其体积。预设的答案：转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解。活动方式：学生独立思考完成。预备的解决过程（以圆台为例）：如图10，设，上下底面的半径分别为和r，圆台的上下底面积分别为和s．ｈ图10∴实际情况：学生只给出思路，具体的计算课后完成。机动练习3：看图填空：
几何体=10=5=13=5=10ｈ=12=6表面积体积机动练习4：四棱台的上下底面均是正方形，边长分别为3cm和5cm，高是6cm，求此棱台的体积。图11（设计意图：检验教学效果。）实际情况：在课堂上没有做这两个练习。问题10结合圆柱、圆锥及圆台的结构特征，再观察他们的表面积公式、体积公式，你能发现什么关系？ （设计意图：从运动变化的观点分析三者之间的关系。）预设的答案：圆柱、圆锥、圆台的表面积：
柱体、锥体、台体的体积之间的关系：实际情况：只完成了表面积之间的关系。由于棱台的体积公式没有在课堂上推导，所以没有要求学生思考体积之间的关系。问题11（1）通过本节课的学习你有什么收获，请从数学知识、思想方法，解决问题的经验等方面谈谈。（2）在本节课的学习过程中你有哪些疑问或者质疑？（设计意图：问题（1）是引导学生对本课时的学习进行归纳总结；问题（2）引导学生对合情推理过程进行质疑，培养学生思维的严谨性，同时激发学生进一步探究的好奇心，为第二章的学习埋下伏笔。）活动方式：学生独立思考，汇报交流。实际情况：学生能小结出化归的多种途径，但是谈到质疑学生只提出一个问题：还没有讲棱台的体积怎么求。对于这个问题我的回答是：“为什么没有讲？”学生能类比解决。学生没有其他质疑，于是教师提出问题：（1）为什么计算圆台的侧面积时可以用两个三角形相似？学生说根据定义圆台的两个底面平行？教师进一步追问：两底面平行就能推出两直线平行吗？并举出反例进一步激起学生的疑问。（2）做
三棱锥的高是从一点向平面做垂线，你怎么确定这个线是垂直的？这些问题都需要到下一章才能解决。六、目标检测设计作业：．P27练习，习题1.3A组1，2，3。（设计意图：初步运用公式解决问题。设计理念：将作业做为课堂教学的延伸、联结和必要补充，而不单是模仿训练。）表1部分平面图形的面积表2部分空间几何体的表面积与体积名称面积公式名称侧面积公式表面积公式体积公式a正三角形正方体三角形长方体a正方形棱柱矩形三棱锥ha平行棱锥
四边形梯形三棱台……棱台圆圆柱l扇形圆锥……ｈ圆台七、设计思路与教学反思1．以研究方法及学生的认知发展规律为主线，旨在发挥数学的教育功能。根据上述的设计思路，这一节2课时的划分办法是：第一课时研究柱体、锥体、台体的表面积，及教材中的例1；第二课时，解决教材中的例2、例3及相关的公式应用问题，之后完成对球的表面积与体积的学习。这个设计思路在实际教学中得以充分的实现，学生从一开始对“化归”思想的陌生，不知道该如何解释“类比”，到下课时自然地小结出用“归化”
（口误，说明对化归思想比较生疏），及化归的具体办法，可见他们已经能将之显性化。听课教师也认为通过本课时的学习，学生应该比较清楚立体几何初步学习的基本思路，对后继的学习有帮助。2．注重先行组织者的作用——解释研究方法。在实际教学时，引导学生回忆本章前面学习了哪些知识，其中蕴涵着什么数学思想。通过复习揭示了具体知识中蕴涵的化归思想，这是本课时的核心思想，它贯穿本课时教学的全过程，很好的发挥了先行组织者的作用。3．注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合。在学生基础较差的班级上课时，确实困难，因为有学生连正方体、长方体的表面积和体积都写不对，更不用说写出圆柱、圆锥的表面积与体积了。怎么办？落实与完美不可兼得时选择“断臂维纳斯”之美。于是在课堂上“就地卧倒”，和学生一起填写表格，一点一点落实，并且是看着学生把该填的都填上，否则这一节课就只能是“教师讲课”了。在这一节课上没有按照预设的完成任务，但是学生是有收获的，听课教师也是有收获的。听课教师说听了这节课后要写文章“普通班学生数学缺乏兴趣，问题出在哪里？”或者“如何真正针对普通班学生数学缺乏兴趣，落实因材施教原则”。学生“感觉收获特别大！”“整节课，学生在一种愉快而又紧张（他们怕被提问但又想被问）的思考中，结束了这节课的学习。”
在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。什么是思维层面的参与，可以通过一个具体的事例解释：比如求圆台的侧面积，笔者的处理方式是问题提出后，教师“闭嘴”，由学生独立思考解决，之后再交流。常见的教学方式是，提出问题之后教师先分析思路，确定解法之后由学生完成。后一种方式中学生活动的思维含量较低，属于“苦力”行为，而且容易养成学生的依赖性，导致在考试中“不怕难题怕新题的现象”。在评课时，授课所用班级的原课任教师也说到，“学生的配合并不是太好，原因是学生不习惯这种教学方式。”事实上只有一开始就把问题交给学生，才能真正发现问题，生成教学，才能培养学生独立性，才能培养学生的分析问题能力。4．注重直观感知，合情推理，但是争取不失时机的进行说理和推理。课标对该部分内容的要求是了解，并且不要求记忆公式。但是在写教学设计时一直有一个困惑：难道就直接把公式给学生吗？那样做符合高中的课程目标和学生的思维规律吗？在教学设计时还是希望不失时机地给学生渗透说理和推理，并在教学实践中予以落实，这样做导致的结果就是容量加大，在规定的2课时内实在是难以完成，包括对实验班的学生。这一节课在我省最好学校的最好班级、城市优质高中的实验班（该校班级分为实验班、普通班）、城市优质高中的普通班（该校班级分为特优班、实验班、普通班）分别上过，每次上完课的感觉都是紧张，容量大，听课教师的感觉也是如此，
但是这一课时完不成上述教学设计的内容，那么必定在2课时内完不成这一节的教学内容，就像在普通班上课那样，就地卧倒之后，必须用3课时完成，而这个普通班还不是最差的班级。所以现在依然困惑是教学设计超标了，还是课时给少了？对于这一节有两种解决课时的办法：第一种办法是不用本教学设计，只把结论给学生，但对这种方法多数教师都持怀疑态度，这样教就可以了吗？第二种办法是用３课时完成，并如下划分３课时：柱体、锥体、台体的表面积及其应用１课时，体积及其应用１课时，球的体积表面积和本节习题处理１课时。5．教材处理有变化，但变化中有不变的规律——尊重教材的处理思路。教材处理中有两点做了明显的变化：其一是调整了教材处理的顺序，将圆柱、圆锥的表面积与体积问题提前，因为这些内容在义教阶段已经学过；其二是将问题分化，即将表面积分化为侧面积与底面积。重点解决侧面积问题。实践证明这样处理是正确的，不论在哪种类型的班级上课，只要解决了侧面积问题，表面积问题就水到渠成，一带而过。但是变化中不变的一条是遵循教材的研究思路，与同题授课的老师相比更注重研究思路在教学过程中发挥的作用，在评课中同题授课的教师也认为笔者的处理方式更好。所以建议教师在研读教材时不但要看显性的知识，还要看隐性的知识，将明线暗线相统一。听课评课很容易，但是走到教室立即感到肩上的担子重如泰山。笔者上课毕竟是偶尔几次，但是通过这样的实践发现新课程实施并不是象专家想象的那样容易，教师确实是很辛苦
。这辛苦的原因之一就是对课标的不理解、难操作。笔者是比较注重研读课标的，但是走进课堂之后还是产生了许多的困惑，课标中一句话，教材予以图解，真正实施只能靠教师的经验，这经验源于何处，更多的是考试怎么考，而不是数学本质的理解。薄弱学校可能会关注模块结业或水平测试，但高考永远是教师顶礼膜拜的指挥棒，在这个现实面前该如何操作，如何有效推进课堂教学，需要科学发展观的指导，更需要科学发展观指导下的实践者对社会产生雷动效果。2008年11月27日
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