高中数学 第一章1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积导学案 新人教a版必修2

1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积问题导学一、柱体、锥体、台体的表面积活动与探究1圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？迁移与应用1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是(  )A．3∶2B．2∶1C．4∶3D．5∶32．一个三棱柱的三视图如下图所示，则这个几何体的表面积是__________．求几何体的表面积时，要先弄清几何体的结构特征，若是台体，要注意运用台体与锥体的关系；若是旋转体，要注意轴截面及侧面展开图的应用．二、柱体、锥体、台体的体积活动与探究2过三棱台ABC－A′B′C′上底面的一边A′C′与侧棱BB′平行的一个截面，把棱台分为两部分，截面与AB，CB的交点D，E分别为AB，CB的中点．求棱台被分成两部分的体积的比．迁移与应用1．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(  )A．πR3B．πR3C．πR3D．πR32．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(  ) A．B．C．1D．2常见的求几何体体积的方法：(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．三、组合体的表面积与体积活动与探究3如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，若在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．迁移与应用1．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(  )A．8－B．8－C．8－2πD．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________． 求组合体的表面积与体积的方法：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏．当堂检测1．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为(  )A．12πB．18πC．24πD．36π2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(  )A．2B．2C．4D．83．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(  ) A．cm3B．cm3C．2000cm3D．4000cm34．已知一圆柱的轴截面面积为Q，则其侧面积为________．5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是__________cm3．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．几何体表面 表面 空间2．面积之和3．πr2 2πrl 2πr2＋2πrl πr2 πrl πr2＋πrl πr′2 πr2 π(r＋ r′)l πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l预习交流1 提示：求旋转体的表面积，关键是求旋转体的底面半径及母线长，这些量都在旋转体的轴截面中．4．(1)Sh (2)Sh(3)h(S＋＋S′)预习交流2 (1)提示：将该几何体分割为柱体、锥体或台体，再分别求出它们的体积，把这些体积进行运算即得该几何体的体积．(2)提示：在台体的体积公式中，令S′＝S，得柱体的体积公式；令S′＝0，得锥体的体积公式．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：根据圆台的侧面展开图求出圆台的母线，进而求出圆台的表面积．解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，∴SA＝20．同理可得SB＝40．∴AB＝SB－SA＝20．∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr12＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2．迁移与应用 1．C2．24＋8 解析：由三视图可知该三棱柱是底面边长为4的正三角形，侧面是高为2的矩形，则其表面积S＝3×4×2＋2××4×4×sin60°＝24＋8．活动与探究2 思路分析：应用棱台和棱柱的体积公式求解．解：设棱台上底面△A′B′C′的面积为S′，棱台的高为h．由题意可知△A′B′C′≌△DBE．∵△DBE∽△ABC，D，E分别是AB，BC的中点，∴＝．∴S△ABC＝4S′．∴V台ABC－A′B′C′＝h·(S′＋＋4S′)＝h·7S′＝h·S′，V柱DBE－A′B′C′＝S′·h．∴棱台被分成的两部分体积比为4∶3或3∶4．迁移与应用 1．A 2．C活动与探究3 思路分析：该梯形绕直线l旋转一周后所得旋转体是一个圆柱里面挖去一个圆锥所剩的几何体，根据梯形这样一个平面图形，求出其旋转后所得几何体的上下底面的半径与高，再求表面积与体积．解：如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝DD′＝a．由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a．∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2．又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3．V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3．∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3．迁移与应用 1．A 2．12＋π【当堂检测】1．C 2．C 3．B 4．πQ5．144