1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积疱丁巧解牛知识·巧学一、柱体的表面积1.棱柱的表面积.当棱柱的侧棱与底面垂直时，去掉底面，展开图是矩形，如长方体、直棱柱等，如图1-3-1.图1-3-1所以侧面积为S直棱柱侧面积=Ch，即直棱柱的侧面积是底面周长乘高.其中C是底面的周长，h是侧棱长，也是高.全面积S全=S侧+S底.底面积的求法，如果是规则多边形，用公式；当是不规则多边形时,先用分割法分割成几个三角形，再求之.方法点拨求棱柱的全面积，一般有两种方法，一是逐个面求面积，这是解决问题的常用方法;再一种就是割补法.例如，在一般棱柱中,作DE、EF、FD与侧棱垂直,被截面DEF截成两节，按图1-3-2的方式拼接，则变成了一个直棱柱，侧面积不变.图1-3-22.圆柱的表面积.圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图1-3-3.图1-3-3所以圆柱的侧面积是S=Ch=2πrl.二、锥体的表面积1.棱锥的表面积一般用逐面加的方法，在正棱锥的情况下，可以用公式S侧=,其中，C是底面的周长，h′是侧面的高.对棱锥表面积的求解可以这样理解.如图1-3-4,每个侧面都是全等三角形,所以S侧=·h′+·h′+·h′=(AB+BC+CA)h′,或者S侧=n·,其中,a是底面边长.
图1-3-42.圆锥的表面积.圆锥的侧面展开图是扇形,如图1-3-5，所以侧面积是扇形的面积，S==πrl，其中C是底面周长，l是母线长，r是底面半径.图1-3-5三、台体的表面积1.棱台的表面积.棱台的表面积由上、下底面与侧面组成，它没有固定的解法，一般用逐面相加.正棱台的侧面是全等的等腰梯形，底面是正多边形，可以用公式求.深化升华比如，四棱台的展开图由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，如图1-3-6.所以棱台的侧面积S侧=n·（a+a′）h′=（na+na′）h′，其中，a′是上底面边长，a是下底面边长，n是侧面的个数，h′是斜高，即侧面等腰梯形的高，C是下底周长，C′是上底周长.这一结果可以用求两个棱锥的侧面积之差的方法得到，请自己做.棱台的表面积是底面积与侧面积之和.图1-3-62.圆台的表面积.圆台的侧面展开图是一个扇环，如图1-3-7，AC=l,OC=l1，OA=l2，l=l2-l1，r′是上底半径，r是下底半径，则，所以
图1-3-7所以l1(r-r′)=lr′,l1r-l1r′=lr′，l2r+l1r-l1r′-l2r=lr′，l2r-l1r′=(l2-l1)r+lr′,πrl2-πr′l1=πl(r+r′)-(C+C′)l，即S侧=πrl2-πr′l1=πl(r+r′)=(C+C′)l.四、柱体、锥体、台体的体积1.棱柱、圆柱的体积.一般棱柱体积用V表示，V=Sh，其中S是底面积，h是棱柱的高,正棱柱、直棱柱的高等于侧棱长.圆柱的体积也是底面积乘高，即V=Sh=πr2h.2.棱锥、圆锥的体积.棱锥体积是等底等高的柱体体积的，一个三棱柱可以分解成三个体积相同的三棱锥，如图1-3-8.图1-3-8所以棱锥的体积V=,圆锥也符合V==πr2h.3.棱台与圆台的体积.棱台与圆台的体积可由原来的圆锥或棱锥体积减去截掉的圆锥或棱锥的体积求得.V=.圆锥的体积还可以表示为V=(r2+Rr+R2).方法点拨有些几何体是由若干个简单几何体如柱、锥、台等组合而成，即组合体.求解组合体表面积与体积的关键是掌握简单几何体的体积公式，将组合体分解成为若干个简单几何体来解.问题·探究问题1比较柱、锥、台的体积公式，你能否发现它们之间的联系？探究:从运动的观点来看，柱、锥、台的体积公式之间相应的有一定的联系，具体关系可列表如下:问题2图1-3-9中哪些展开图可以折成长方体？
图1-3-9图1-3-10探究:长方体共有6个面，一个图形能否折成长方体，实质就是看一个长方体的侧面展开图可以为哪种情况.容易验证，只有A图与C图符合要求.典题·热题例1如图1-3-11，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？图1-3-11思路解析：三棱柱形容器内盛有水，无论如何放置，水的体积不会改变，据此建立关系式便可解决问题.解：设直三棱柱的底面ABC面积为S，高为ｈ，则ｈ=8.当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状呈直四棱柱形，由于液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是，所以水的体积为·h==6S.当底面ABC水平放置时，设液面高为h1，则V水=Sh1，从而有Sh1=6S,所以h1=6,即当底面ABC水平放置时，液面高为6.方法归纳本题的实质是体积的等量转化，即等积变换，这是一种求体积的常用方法.一是变换几何体的顶点和底面;二是把原几何体进行分割，进而求几个小几何体的体积之和;三是把几何体的形状改变，但体积不变，如本例即为此种情况.例2如图1-3-12，圆台的轴截面ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，E是垂足，∠BCD=75°，设BC=a，求圆台的侧面积.图1-3-12思路解析：要求圆台的侧面积，则要知道上、下底的半径和母线(已知)，即要求出AB和DC，可知△AEB和△DCE都是等腰直角三角形，而BE和EC都可求出，问题就解决了.解：∵AD=BC，AC=BD，DC=CD,∴△ADC≌△BCD.∴∠BDC=∠ACD.∵AC⊥BD，∴∠DEC=90°.∴∠BDC=∠ACD=45°.又∵∠BCD=75°，∴∠ACB=30°.在Rt△BCE中，BE=,CE=,∴AB=.
∴上底半径r=.同理,可得CD=.∴下底半径R=.∴圆台的侧面积S=π(R+r)·l=.深化升华本题是圆台的表面积公式的应用，旋转体的表面积一般代入公式直接求解.例3如图1-3-13,一个长、宽、高分别为4厘米、2厘米、1厘米的长方体纸盒.一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程.图1-3-13思路解析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题.将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图1-3-13展开图，AB间的最短路线是连结这两点的直线段.解：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：(1)从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连结AB，如图1-3-14①，AB是Rt△ABC的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=(1+2)2+42=25；(2)从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图1-3-14②，同理,AB2=22+(1+4)2=29；(3)从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图1-3-14③，得AB2=(2+4)2+12=37.图1-3-14比较三条路线，25最小，所以蚂蚁按图①爬行的路线最短，最短路程为5厘米.误区警示本题求解时要注意蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较，而不能直观地认为某条路线就是最短路程.
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