第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积A级 基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A．4倍 B．3倍C.倍D．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a，所以S底＝πa2，S侧＝πa·2a＝2πa2，因此S侧＝2S底．答案：D2.如图所示，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是( )A.B.C.D.
解析：因为VCA′B′C′＝V柱＝，所以VCAA′B′B＝1－＝.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为( )A．3πB．3πC．6πD．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r＝l，又S轴＝×l2×sin60°＝l2＝，所以l＝2，r＝1.所以S圆锥表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆的体积V＝×πr2h＝××5＝(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛)．
答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A．1∶B．1∶C．2∶D．3∶解析：棱锥B′ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B′C＝，S△B′AC＝.三棱锥的表面积S锥＝4×＝2，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝2∶6＝1∶.答案：B二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l＝＝，所以S侧＝π(1＋2)×＝3π.答案：3π
7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×3－π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋.则S侧＝8＋2，S底＝2××1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2.答案：11＋2三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．
解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2cm，底面高B′D′＝2cm，所以底面边长A′B′＝2×＝4(cm)．一个底面的面积为×2×4＝4(cm2)．所以表面积S＝2×4＋4×2×3＝24＋8(cm2)，V＝4×2＝8(cm3)．所以表面积为(24＋8)cm2，体积为8(cm3)．B级 能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )
A.π B.πC．6πD.π解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V＝＋×π×22×2＝2π＋π＝π.答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π×52×4＋π×22×8＝.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则π·r2×4＋π·r2×8＝r2＝，解得r＝.答案：3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．
解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体．V四棱柱＝23＝8，V四棱锥＝×22×2＝.故几何体的体积V＝V四棱柱＋V四棱锥＝8＋＝(cm3)．
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