1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积[提出问题]南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神．“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷．问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？提示：可以，即计算圆台的表面积．问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？提示：可以，即计算其容积．[导入新知]1．几种几何体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h.[化解疑难]对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．柱体、锥体、台体的表面积[例1] 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．180 B．200C．220D．240[答案] D[类题通法]1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．[活学活用] 圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．解：如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)．同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)．所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2).柱体、锥体、台体的体积
[例2] (天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.[答案] 2[类题通法]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱体、锥体、台体的体积计算问题．[活学活用] 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．解：如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.又A′B′＝20cm，AB＝30cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，所以DD′＝(cm)．又∵O′D′＝×20＝(cm)，OD＝×30＝5(cm)，∴棱台的高h＝O′O＝
＝＝4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝(S上＋S下＋)＝×(325＋×20×30)＝1900(cm3).简单组合体的表面积和体积[例3] 已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[解] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.∵BC·AC＝AB·CD，∴CD＝，记为r＝，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π，V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB＝π×2×5＝π.所以，所求旋转体的表面积是π，体积是π.[类题通法]
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．[活学活用]一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.答案： [典例] 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．[解] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝.当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝.综上所述，这个圆柱的体积为或.[易错防范]把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高．容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面．[成功破障] 如图，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1
与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．解：由题意知，S1＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＝(4＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4＋9)πa2.∴S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9)．[随堂即时演练]1．(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20π B．24π C．28π D．32π答案：C2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )A．1∶2B．1∶C．1∶D.∶2答案：C3．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.答案：π4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．答案：100π
5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：表面积：(24＋8)cm2，体积：8cm3.[课时达标检测]一、选择题1.如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是( )A. B.C.D.答案：C2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A．πB．2πC．4πD．8π答案：B3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．6B．9C．12D．18答案：B4．(全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.B.C.D.答案：D5.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A．4，8B．4，C．4(＋1)，D．8,8答案：B二、填空题6．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．答案：127．(浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.答案：72 328．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，则其表面积为________cm2.答案：1012三、解答题9．如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．(单位：cm)
解：由三视图知该几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．长方体的长、宽、高分别是8,4,6，圆柱的高是8，底面半径是2，∴表面积为S＝8×4＋2×8×6＋2×4×6＋2××π×22＋×2π×2×8＝176＋20π(cm2)，体积为V＝8×4×6＋×π×22×8＝192＋16π(cm3)，故该几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.10．已知正三棱锥VABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，有VD＝＝＝，
则S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，S△ABC＝×(2)2×＝3，所以，三棱锥VABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．
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