2019届高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教A版x

1.3空间几何体的表面积与体积 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一二三一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1.正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示,则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系?提示:相等. 一二三2.棱柱、棱锥、棱台的展开图是怎样的?如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积?提示:如下图所示,首先需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积,然后求和即可. 一二三3.填空:棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积.4.做一做:判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()(2)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长.()答案:(1)√(2)× 一二三二、圆柱、圆锥、圆台的表面积1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?提示:圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长. 一二三2.如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积?提示:圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为×2πrl=πrl,∴S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长. 一二三3.如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积? 一二三4.圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?提示:如图所示. 一二三5.关于旋转体的表面积,请完成下表: 一二三6.做一做:(1)圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为,表面积为.(2)如图,圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的侧面积为.(3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于.答案:(1)24π32π(2)2π(3)67π 一二三三、柱体、锥体、台体的体积1.长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示?根据这些体积公式,推测柱体的体积计算公式如何?提示:V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πr2h,根据这些体积公式可知:设柱体的底面面积为S,高为h,则柱体的体积公式为V柱体=Sh.2.圆锥的体积公式如何表示?根据圆锥的体积公式,推测锥体的体积计算公式如何? 一二三3.台体的上底面积S',下底面积S,高h,则台体的体积是怎样的?圆台的体积公式如何用上、下底面半径及高表示?4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系怎么样?提示:如图. 一二三5.做一做:(1)如图,某几何体下面部分为正方体ABCD-A'B'C'D',上面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为.V=V正方体+VS-ABCD=12.答案:12(2)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则棱台的体积为.答案:28 探究一探究二探究三思维辨析空间几何体的表面积例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解:以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是4,下底半径是16,母线DC==13.故该几何体的表面积为π(4+16)×13+π×42+π×162=532π. 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟空间几何体表面积的求解方法1.解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:(1)得到空间几何体的平面展开图;(2)依次求出各个平面图形的面积;(3)将各平面图形的面积相加.2.正棱锥及正棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解. 探究一探究二探究三思维辨析延伸探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解:以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π. 探究一探究二探究三思维辨析空间几何体的体积例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.(1)求V1,V2以及V1∶V2;(2)求A到平面A1BD的距离d.思路分析:(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)利用三棱锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解. 探究一探究二探究三思维辨析解:(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形,所以V1∶V2=1∶5. 探究一探究二探究三思维辨析(2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体.在△A1BD中,A1B=BD=A1D=a, 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求几何体体积的常用方法 探究一探究二探究三思维辨析延伸探究若【例2】中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.解:不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积 探究一探究二探究三思维辨析与三视图有关的表面积和体积例3(1)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为()A.72B.66C.60D.30 探究一探究二探究三思维辨析(2)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是() 探究一探究二探究三思维辨析解析:(1)由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为直角三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,如图所 探究一探究二探究三思维辨析(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截取三棱台AEF-A1B1D1后剩余的部分.答案:(1)A(2)C 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟表面积与体积的计算方法已知几何体的三视图求其表面积或体积时,先由三视图还原作出直观图,再根据三视图中所给数据,得到直观图中计算表面积和体积所需要的有关数据,最后利用表面积或体积公式求解. 探究一探究二探究三思维辨析变式训练一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图如图所示,AA1=3,则这个三棱柱的表面积和体积分别为. 探究一探究二探究三思维辨析解析:直观图如图,由题意可知, 探究一探究二探究三思维辨析一题多变——求正棱台的体积典例已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm,侧面积是780cm2.求正四棱台的体积.思路分析可以尝试借助四棱台内的直角梯形,求出棱台底面积和高,从而求出体积. 探究一探究二探究三思维辨析解:如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10cm,AB=20cm.取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、O分别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1是直角梯形.方法总结求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系. 探究一探究二探究三思维辨析变式训练本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm,侧棱长为2cm,求该棱台的体积.”解:如图,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面边长分别为2cm和4cm, 12341.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为()A.48B.64C.16D.96解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.答案:B 12342.(2018·全国1,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以答案:B 12343.各棱长都为2的正四棱锥的体积为. 12344.如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,截下一个棱锥D'-A'DC,则棱锥D'-A'DC的体积与剩余部分的体积的比值为.解析:设AB=a,AD=b,DD'=c,则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc.∵V三棱锥D'-A'DC=V三棱锥C-A'DD',